Действия с корнями: как решать

Выполнить действия с корнями.

Определения

Одинаковые показатели

Корни с равными показателями можно перемножать и делить, объединяя подкоренные выражения.

Приведение к общему показателю

Замена корней разных степеней на корни одной степени через степень с рациональным показателем.

Объяснение

Действия с корнями подчиняются тем же правилам, что и действия со степенями, - и это не совпадение: корень есть степень с дробным показателем. Понимание этой связи снимает необходимость запоминать отдельный список правил.

Корни с одинаковыми показателями перемножаются объединением подкоренных выражений: произведение корней равно корню из произведения. То же для деления. Для разных показателей это не работает напрямую.

Если показатели разные, корни приводят к общему показателю. Для этого удобно перейти к степеням с дробными показателями: корень третьей степени - это степень 1/3, корень второй - степень 1/2. Дальше действуют обычные свойства степеней.

Сложение корней возможно только для подобных - с одинаковым подкоренным выражением и одинаковым показателем. Тогда складывают коэффициенты, а корень остаётся неизменным множителем, как буква в алгебре.

Часто корни становятся подобными после упрощения. Выражение ³√16 + ³√54 на первый взгляд не складывается, но 16 = 8 · 2 и 54 = 27 · 2, значит это 2³√2 + 3³√2 = 5³√2.

Отдельная техника - избавление от иррациональности в знаменателе. Дробь 1/√2 домножают на √2 сверху и снизу, получая √2/2. Это не обязательное требование, но традиционная форма записи ответа.

Проверять полезно приближённым счётом: √2 около 1,41, ³√2 около 1,26. Грубая оценка сразу показывает, правдоподобен ли результат.

Правила и формулы

• Произведение корней одной степениⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab)
• Корень как степеньⁿ√a = a^(1/n)
• Складывать можно только подобные корни2³√2 + 3³√2 = 5³√2
• Разные показатели приводят к общему через степени
• Избавление от иррациональности1/√2 = √2/2

Порядок действий

1. Упростите каждый корень, вынеся множители из-под знака.
2. Для умножения и деления объедините подкоренные выражения, если показатели равны.
3. При разных показателях перейдите к степеням с дробными показателями.
4. Для сложения проверьте, стали ли корни подобными.
5. При необходимости избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Перемножают корни с разными показателями напрямую.
• Складывают подкоренные выражения при сложении корней.
• Не упрощают корни и не замечают, что они подобны.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Корни с одинаковым показателем можно объединить под один знак.
• Перемножьте подкоренные: 192 · 3 = 576.
• Извлеките корень из 576.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»

• Корень n-й степени
• Степень с рациональным показателем
• Логарифм числа
• Свойства логарифмов
• Показательные уравнения
• Логарифмические уравнения

Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.