Показательные уравнения: как решать
Решить показательное уравнение.
Определения
- Показательное уравнение
- Уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени: 2ˣ = 8.
- Приведение к одному основанию
- Преобразование, при котором обе части записывают как степени одного числа, после чего приравнивают показатели.
Объяснение
Показательное уравнение решают приведением обеих частей к одному основанию. Как только основания совпали, можно приравнять показатели - и уравнение становится обычным.
Основание такого шага - строгая монотонность показательной функции. Она принимает каждое значение ровно один раз, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием возможно только при равенстве показателей.
Для уравнения 2ˣ = 8 записываем 8 как 2³, получаем 2ˣ = 2³, откуда x = 3. Основная работа - узнать в правой части степень нужного основания.
Часто приходится преобразовывать обе части. В уравнении 9ˣ = 27 приводим к основанию 3: 3^(2x) = 3³, откуда 2x = 3 и x = 1,5. Заметьте, что показатель левой части удвоился, потому что 9 = 3².
Показательная функция всегда положительна, поэтому уравнение вида 2ˣ = −4 решений не имеет. Проверять это стоит сразу: если справа неположительное число, дальше можно не решать.
Уравнения, сводящиеся к квадратным, решают заменой. В уравнении 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 = 0 обозначают 2ˣ = t, получают t² − 5t + 4 = 0. Найдя t, возвращаются к переменной. Корни t обязаны быть положительными - отрицательные отбрасывают.
Проверять ответ надо подстановкой в исходное уравнение. При замене легко потерять или приобрести корень, и проверка это ловит.
Правила и формулы
- Приводим к одному основанию и приравниваем показатели
aˣ = aᵇ → x = b - Пример
2ˣ = 8 = 2³ → x = 3 - Основание степени преобразуют тоже
9ˣ = 3^(2x) - Показательная функция всегда положительна
2ˣ = −4 решений не имеет - Замена сводит к квадратному
2ˣ = t, при этом t > 0
Порядок действий
- Проверьте, положительна ли правая часть.
- Приведите обе части к степеням одного основания.
- Приравняйте показатели.
- Если уравнение сводится к квадратному, сделайте замену и отбросьте неположительные корни.
- Проверьте ответ подстановкой в исходное уравнение.
Разбор примеров
- Записываем 8 как степень двойки: 8 = 2³.
- Основания совпали.
- Приравниваем показатели: x = 3.
- Приводим к основанию 3: 3^(2x) = 3³.
- 2x = 3.
- x = 1,5.
- Единица - это 5⁰.
- Приравниваем показатели.
Где обычно ошибаются
- Приравнивают показатели при разных основаниях.
- Забывают, что при замене основания показатель тоже меняется.
- Оставляют отрицательный корень после замены.
Примеры с решением
- 9 = 3^2
- 3^x = 3^2
- x = 2
- 128 = 2^7
- 2^x = 2^7
- x = 7
- 81 = 3^4
- x − 1 = 4
- x = 4 + 1 = 5
- 16 = 2^4
- x − 4 = 4
- x = 4 + 4 = 8
- 25 = 5^2
- 5^x = 5^2
- x = 2
Подсказки, если не получается
- Представьте правую часть степенью того же основания.
- 9 = 3^2.
- Основания одинаковые — значит равны и показатели.
Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»
- Корень n-й степени
- Действия с корнями
- Степень с рациональным показателем
- Логарифм числа
- Свойства логарифмов
- Логарифмические уравнения
Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.