Корень n-й степени: как решать

Извлечь корень n-й степени.

Определения

Корень n-й степени

Число, n-я степень которого равна подкоренному выражению. Корень третьей степени из 27 равен 3, потому что 3³ = 27.

Показатель корня

Число n в записи корня. У квадратного корня показатель 2, и его обычно не пишут.

Арифметический корень

Неотрицательное значение корня чётной степени. Именно оно имеется в виду в записи со знаком корня.

Объяснение

Корень n-й степени обобщает квадратный корень: вместо квадрата берут любую степень. Вопрос «чему равен корень пятой степени из 32» означает «какое число в пятой степени даёт 32», и ответ 2.

Принципиально важно различать чётные и нечётные показатели, потому что ведут они себя по-разному.

Корень нечётной степени определён для любого числа, в том числе отрицательного, и знак сохраняется: корень третьей степени из −8 равен −2, потому что (−2)³ = −8. Никаких ограничений тут нет.

Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел, и его значение тоже неотрицательно. Запись корня четвёртой степени из −16 смысла не имеет: никакое действительное число в чётной степени не даёт отрицательного результата.

Извлечение корня удобно вести через разложение на множители. Чтобы найти корень третьей степени из 216, разложим: 216 = 8 · 27, а корни из этих чисел равны 2 и 3, значит ответ 6. Приём тот же, что и для квадратного корня.

Полезно помнить степени небольших чисел: кубы до 5 (8, 27, 64, 125), четвёртые степени двойки и тройки (16, 81), пятые степени двойки (32). Узнавание этих чисел под корнем сразу даёт ответ.

Свойства корней те же, что у квадратного: корень из произведения равен произведению корней, корень из частного - частному. Для суммы никакого свойства нет.

Правила и формулы

• Определениеⁿ√a = b означает bⁿ = a
• Нечётная степень: определён для любого числа³√(−8) = −2
• Чётная степень: только для неотрицательных⁴√(−16) не существует
• Корень из произведенияⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b
• Полезные степени2⁵ = 32, 3⁴ = 81, 6³ = 216

Порядок действий

1. Посмотрите на чётность показателя корня.
2. При чётном показателе проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
3. Попробуйте узнать подкоренное число как известную степень.
4. Иначе разложите его на множители и извлеките корень из каждого.
5. При нечётном показателе сохраните знак подкоренного выражения.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Извлекают корень чётной степени из отрицательного числа.
• Теряют знак у корня нечётной степени.
• Пытаются извлечь корень из суммы почленно.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Здесь спрашивают само подкоренное число.
• Возведите 10 в 3-ю степень.
• 10^3 = 1000.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»

• Действия с корнями
• Степень с рациональным показателем
• Логарифм числа
• Свойства логарифмов
• Показательные уравнения
• Логарифмические уравнения

Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.