Степень с рациональным показателем: как решать

Вычислить степень с рациональным показателем.

Определения

Степень с рациональным показателем

Запись a^(m/n) означает корень n-й степени из a в степени m: знаменатель показателя даёт степень корня, числитель - степень подкоренного выражения.

Объяснение

Рациональный показатель - это способ записать корень степенью. Определение подобрано так, чтобы сохранились все свойства степеней, и в этом его главная ценность: одни правила работают и для целых, и для дробных показателей.

Основное соотношение: a в степени m/n равно корню n-й степени из a в степени m. Знаменатель показателя задаёт степень корня, числитель - степень подкоренного выражения. Проверить логику легко: возведя a^(1/n) в степень n, по свойству степеней получим a, а это и есть определение корня.

Считать удобнее, извлекая корень первым, а потом возводя в степень. Для 8^(2/3) сначала берём корень третьей степени из 8, это 2, а потом возводим в квадрат - получаем 4. Обратный порядок дал бы 64, а потом корень из него - тот же ответ, но числа крупнее.

Все свойства степеней остаются в силе: при умножении показатели складываются, при возведении степени в степень перемножаются. Именно ради этого рациональный показатель и вводился.

Отрицательный дробный показатель совмещает два правила: сначала переворачиваем, потом извлекаем корень. Выражение 8^(−2/3) равно 1 / 8^(2/3) = 1/4.

Основание степени с дробным показателем принято брать неотрицательным. Причина в том, что для отрицательных оснований результат зависел бы от формы записи дроби, а это ломало бы свойства. Поэтому запись (−8)^(1/3) в школьном курсе избегают, хотя корень третьей степени из −8 существует.

Проверять полезно прикидкой: показатель между нулём и единицей уменьшает число больше единицы. Так, 8^(2/3) = 4 - меньше восьми, и это ожидаемо.

Правила и формулы

• Определениеa^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
• Удобный порядок счёта8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4
• Свойства степеней сохраняются
• Отрицательный дробный показательa^(−m/n) = 1 / a^(m/n)
• Основание берут неотрицательным

Порядок действий

1. Разберите показатель: знаменатель - степень корня, числитель - степень числа.
2. Если показатель отрицательный, сначала переверните дробь.
3. Извлеките корень нужной степени из основания.
4. Возведите результат в степень, равную числителю.
5. Проверьте прикидкой размер ответа.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Меняют местами числитель и знаменатель показателя.
• Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательный результат.
• Возводят в степень до извлечения корня и запутываются в больших числах.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Знаменатель показателя — это степень корня, числитель — степень подкоренного.
• Разложите основание: 64 = 4^3.
• Тогда останется 4^4.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»

• Корень n-й степени
• Действия с корнями
• Логарифм числа
• Свойства логарифмов
• Показательные уравнения
• Логарифмические уравнения

Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.