Логарифмические уравнения: как решать

Решить логарифмическое уравнение.

Определения

Логарифмическое уравнение: Уравнение, в котором переменная стоит под знаком логарифма: log₂(x + 1) = 3.
Область допустимых значений: Множество значений переменной, при которых все логарифмы в уравнении определены. Аргумент каждого логарифма обязан быть положительным.

Объяснение

Логарифмическое уравнение решают, избавляясь от логарифма по определению: если log_a f(x) = b, то f(x) = a^b. Дальше остаётся обычное уравнение.

Но есть обязательный шаг, без которого решение неполно: проверка области допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, и найденные корни надо на это проверять.

Проверка не формальность. Преобразования могут дать корни, при которых логарифм не определён, - такие корни посторонние, и включать их в ответ нельзя. Найти их иначе как проверкой невозможно.

Для уравнения log₂(x + 1) = 3 по определению получаем x + 1 = 2³ = 8, откуда x = 7. Проверяем: аргумент 7 + 1 = 8 положителен, корень годится.

Если логарифмы стоят по обе стороны с одинаковым основанием, их аргументы приравнивают: из log_a f = log_a g следует f = g. Но и здесь проверка области определения обязательна.

Уравнения с несколькими логарифмами сначала сворачивают свойствами в один. Сумму логарифмов заменяют логарифмом произведения, разность - логарифмом частного, и только потом избавляются от логарифма.

Область допустимых значений удобно выписывать до решения, а не после: тогда сразу видно, какие корни заведомо не подойдут, и проверка сводится к сравнению с уже готовым промежутком.

Правила и формулы

По определениюlog_a f(x) = b → f(x) = aᵇ
Равные логарифмыlog_a f = log_a g → f = g
Аргумент логарифма строго положителен
Несколько логарифмов сворачивают свойствами в один
Проверка области определения обязательна

Порядок действий

Выпишите область допустимых значений: аргументы всех логарифмов больше нуля.
Сверните несколько логарифмов в один, если нужно.
Избавьтесь от логарифма по определению.
Решите полученное уравнение.
Отбросьте корни, не попавшие в область допустимых значений.

Разбор примеров

log₂(x + 1) = 3

Область: x + 1 > 0, значит x > −1.
По определению: x + 1 = 2³ = 8.
x = 7.
Проверка: 7 > −1, корень годится.

Ответ: 7

log₃(x − 2) = 2

Область: x > 2.
x − 2 = 3² = 9.
x = 11, что больше двух.

Ответ: 11

log₅ x = −1

Область: x > 0.
x = 5⁻¹ = 1/5.
Значение положительно.

Ответ: 1/5

Где обычно ошибаются

Не проверяют область допустимых значений и оставляют посторонний корень.
Возводят основание не в ту степень, путая стороны равенства.
Складывают логарифмы с разными основаниями.

Примеры с решением

1. Решите уравнение log₁₀ (x − 11) = 3.

x − 11 = 10^3
x − 11 = 1000
x = 1000 + 11 = 1011

Ответ: 1011

2. Решите уравнение log₂ x = 5.

x = 2^5
x = 32

Ответ: 32

3. Решите уравнение log₅ (x − 17) = 3.

x − 17 = 5^3
x − 17 = 125
x = 125 + 17 = 142

Ответ: 142

4. Решите уравнение log₂ (x − 8) = 2.

x − 8 = 2^2
x − 8 = 4
x = 4 + 8 = 12

Ответ: 12

5. Решите уравнение log₁₀ (10x) = 2.

10x = 10^2
10x = 100
x = 100 : 10 = 10

Ответ: 10

Подсказки, если не получается

Сначала избавьтесь от логарифма по его определению.
Под логарифмом должно получиться 10^3 = 1000.
Осталось решить x − 11 = 1000.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»

Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.