Свойства логарифмов: как решать
Применить свойства логарифмов.
Определения
- Свойства логарифмов
- Правила, превращающие произведение в сумму, частное в разность, степень в множитель.
Объяснение
Свойства логарифмов - это свойства степеней, записанные наоборот. Логарифм переводит умножение в сложение, деление в вычитание, возведение в степень в умножение. Именно ради такого упрощения логарифмы и были изобретены.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Понять можно так: если a^x = m и a^y = n, то a^(x+y) = mn, а значит логарифм произведения равен x + y, то есть сумме логарифмов.
Логарифм частного равен разности логарифмов - по той же причине, только показатели вычитаются. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм: log a^k = k · log a, потому что степень степени даёт умножение показателей.
Свойства работают только при одинаковом основании. Складывать логарифмы с разными основаниями напрямую нельзя - сначала их приводят к одному основанию по формуле перехода.
Обратное направление не менее важно: сумму логарифмов сворачивают в логарифм произведения. Выражение log₂ 4 + log₂ 8 равно log₂ 32, то есть 5. Иногда это проще, чем считать каждый логарифм отдельно.
Чего свойства НЕ дают: логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Записать log(a + b) через отдельные логарифмы нельзя никак. Эта ошибка встречается так же часто, как раскрытие квадрата суммы почленно.
Проверять преобразования полезно на числах: подставьте конкретные значения и убедитесь, что обе части равны. Одна подстановка отсеивает большинство ложных «свойств».
Правила и формулы
- Логарифм произведения
log_a(mn) = log_a m + log_a n - Логарифм частного
log_a(m/n) = log_a m − log_a n - Логарифм степени
log_a(mᵏ) = k · log_a m - Свойства требуют одинакового основания
- Логарифма суммы разложить нельзя
log(a + b) ≠ log a + log b
Порядок действий
- Проверьте, что у всех логарифмов одинаковое основание.
- Вынесите показатели степеней множителями вперёд.
- Сверните сумму логарифмов в логарифм произведения или разверните обратно.
- Вычислите получившийся логарифм по определению.
- Проверьте результат подстановкой чисел.
Разбор примеров
- Основания одинаковые - сворачиваем в произведение.
- log₂(4 · 8) = log₂ 32.
- 2⁵ = 32, значит ответ 5.
- Разность логарифмов - логарифм частного.
- log₃(18 : 2) = log₃ 9.
- 3² = 9, ответ 2.
- Показатель выносим вперёд: 3 · log₂ 8.
- log₂ 8 = 3.
- 3 · 3 = 9.
Где обычно ошибаются
- Раскладывают логарифм суммы на сумму логарифмов.
- Применяют свойства к логарифмам с разными основаниями.
- Выносят показатель степени основания вместо показателя аргумента.
Примеры с решением
- log₂ x + log₂ y = log₂ (x · y)
- 4 · 16 = 64
- log₂ 64 = 6
- log₃ x + log₃ y = log₃ (x · y)
- 27 · 81 = 2187
- log₃ 2187 = 7
- log₅ x − log₅ y = log₅ (x : y)
- 78125 : 125 = 625
- log₅ 625 = 4
- log₃ x + log₃ y = log₃ (x · y)
- 81 · 9 = 729
- log₃ 729 = 6
- log₃ x + log₃ y = log₃ (x · y)
- 9 · 81 = 729
- log₃ 729 = 6
Подсказки, если не получается
- Логарифмы с одним основанием складываются как логарифм произведения.
- Перемножьте: 4 · 16 = 64.
- 2 в какой степени даёт 64?
Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»
- Корень n-й степени
- Действия с корнями
- Степень с рациональным показателем
- Логарифм числа
- Показательные уравнения
- Логарифмические уравнения
Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.