Логарифм числа: как решать

Вычислить логарифм числа.

Определения

Логарифм

Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число. Запись log₂ 8 = 3 означает, что 2³ = 8.

Основание логарифма

Число, которое возводят в степень. Обязано быть положительным и не равным единице.

Область определения

Логарифм определён только для положительных чисел: логарифма нуля и отрицательных чисел не существует.

Объяснение

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить данное число. Это действие, обратное возведению в степень, как деление обратно умножению, а корень - возведению в степень.

Запись log₂ 8 читается «логарифм восьми по основанию два» и равна 3, потому что 2³ = 8. Самый надёжный способ вычислить логарифм в уме - переформулировать его как вопрос про степень.

Ограничения на основание не случайны. Основание должно быть положительным, иначе степени вели бы себя непредсказуемо. И не равным единице, потому что единица в любой степени даёт единицу, и уравнение 1ˣ = 8 решений не имело бы.

Аргумент логарифма обязан быть положительным. Никакая степень положительного основания не даёт ноль или отрицательное число, поэтому логарифма нуля и отрицательных чисел не существует. При решении уравнений это даёт обязательную проверку области определения.

Полезно знать частные случаи: логарифм единицы по любому основанию равен нулю, потому что любое число в нулевой степени даёт единицу. Логарифм самого основания равен единице. Эти два факта встречаются постоянно.

Отдельные названия имеют логарифмы по основанию 10 и по основанию e: десятичный (lg) и натуральный (ln). Никакой особой природы у них нет, это те же логарифмы с частыми основаниями.

Основное логарифмическое тождество: основание в степени логарифма даёт само число. Это просто определение, записанное иначе, но в преобразованиях оно используется постоянно.

Правила и формулы

• Определениеlog_a b = c означает aᶜ = b
• Примерlog₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8
• Основание: a > 0, a ≠ 1
• Аргумент положителенlog_a 0 и log_a(−5) не существуют
• Частные случаиlog_a 1 = 0, log_a a = 1

Порядок действий

1. Переформулируйте задачу: в какую степень возвести основание, чтобы получить число.
2. Проверьте, что аргумент положителен, а основание допустимо.
3. Представьте число как степень основания.
4. Показатель этой степени и есть ответ.
5. Проверьте: возведите основание в найденную степень.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Пытаются вычислить логарифм отрицательного числа или нуля.
• Путают местами основание и аргумент.
• Считают log_a 1 равным единице вместо нуля.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• ln — логарифм по основанию e.
• Логарифм и показательная функция взаимно обратны.
• Значит ln e^5 = 5.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Степени, корни и логарифмы»

• Корень n-й степени
• Действия с корнями
• Степень с рациональным показателем
• Свойства логарифмов
• Показательные уравнения
• Логарифмические уравнения

Полная справка по разделу — на странице Степени, корни и логарифмы.