Степени, корни и логарифмы
Логарифм — это показатель степени: log a b есть тот показатель, в который надо возвести a, чтобы получить b.
Содержание
- Корень n-й степениИзвлечь корень n-й степени.
- Действия с корнямиВыполнить действия с корнями.
- Степень с рациональным показателемВычислить степень с рациональным показателем.
- Логарифм числаВычислить логарифм числа.
- Свойства логарифмовПрименить свойства логарифмов.
- Показательные уравненияРешить показательное уравнение.
- Логарифмические уравненияРешить логарифмическое уравнение.
Корень n-й степени
Определения
- Корень n-й степени
- Число, n-я степень которого равна подкоренному выражению. Корень третьей степени из 27 равен 3, потому что 3³ = 27.
- Показатель корня
- Число n в записи корня. У квадратного корня показатель 2, и его обычно не пишут.
- Арифметический корень
- Неотрицательное значение корня чётной степени. Именно оно имеется в виду в записи со знаком корня.
Объяснение
Корень n-й степени обобщает квадратный корень: вместо квадрата берут любую степень. Вопрос «чему равен корень пятой степени из 32» означает «какое число в пятой степени даёт 32», и ответ 2.
Принципиально важно различать чётные и нечётные показатели, потому что ведут они себя по-разному.
Корень нечётной степени определён для любого числа, в том числе отрицательного, и знак сохраняется: корень третьей степени из −8 равен −2, потому что (−2)³ = −8. Никаких ограничений тут нет.
Корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел, и его значение тоже неотрицательно. Запись корня четвёртой степени из −16 смысла не имеет: никакое действительное число в чётной степени не даёт отрицательного результата.
Извлечение корня удобно вести через разложение на множители. Чтобы найти корень третьей степени из 216, разложим: 216 = 8 · 27, а корни из этих чисел равны 2 и 3, значит ответ 6. Приём тот же, что и для квадратного корня.
Полезно помнить степени небольших чисел: кубы до 5 (8, 27, 64, 125), четвёртые степени двойки и тройки (16, 81), пятые степени двойки (32). Узнавание этих чисел под корнем сразу даёт ответ.
Свойства корней те же, что у квадратного: корень из произведения равен произведению корней, корень из частного - частному. Для суммы никакого свойства нет.
Правила и формулы
- Определение
ⁿ√a = b означает bⁿ = a - Нечётная степень: определён для любого числа
³√(−8) = −2 - Чётная степень: только для неотрицательных
⁴√(−16) не существует - Корень из произведения
ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b - Полезные степени
2⁵ = 32, 3⁴ = 81, 6³ = 216
Порядок действий
- Посмотрите на чётность показателя корня.
- При чётном показателе проверьте, что подкоренное выражение неотрицательно.
- Попробуйте узнать подкоренное число как известную степень.
- Иначе разложите его на множители и извлеките корень из каждого.
- При нечётном показателе сохраните знак подкоренного выражения.
Разбор примеров
- Ищем число, куб которого равен 27.
- 3³ = 27.
- Показатель нечётный - знак сохраняется.
- (−2)³ = −8.
- Раскладываем: 216 = 8 · 27.
- ³√8 = 2, ³√27 = 3.
- 2 · 3 = 6.
Где обычно ошибаются
- Извлекают корень чётной степени из отрицательного числа.
- Теряют знак у корня нечётной степени.
- Пытаются извлечь корень из суммы почленно.
Действия с корнями
Определения
- Одинаковые показатели
- Корни с равными показателями можно перемножать и делить, объединяя подкоренные выражения.
- Приведение к общему показателю
- Замена корней разных степеней на корни одной степени через степень с рациональным показателем.
Объяснение
Действия с корнями подчиняются тем же правилам, что и действия со степенями, - и это не совпадение: корень есть степень с дробным показателем. Понимание этой связи снимает необходимость запоминать отдельный список правил.
Корни с одинаковыми показателями перемножаются объединением подкоренных выражений: произведение корней равно корню из произведения. То же для деления. Для разных показателей это не работает напрямую.
Если показатели разные, корни приводят к общему показателю. Для этого удобно перейти к степеням с дробными показателями: корень третьей степени - это степень 1/3, корень второй - степень 1/2. Дальше действуют обычные свойства степеней.
Сложение корней возможно только для подобных - с одинаковым подкоренным выражением и одинаковым показателем. Тогда складывают коэффициенты, а корень остаётся неизменным множителем, как буква в алгебре.
Часто корни становятся подобными после упрощения. Выражение ³√16 + ³√54 на первый взгляд не складывается, но 16 = 8 · 2 и 54 = 27 · 2, значит это 2³√2 + 3³√2 = 5³√2.
Отдельная техника - избавление от иррациональности в знаменателе. Дробь 1/√2 домножают на √2 сверху и снизу, получая √2/2. Это не обязательное требование, но традиционная форма записи ответа.
Проверять полезно приближённым счётом: √2 около 1,41, ³√2 около 1,26. Грубая оценка сразу показывает, правдоподобен ли результат.
Правила и формулы
- Произведение корней одной степени
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab) - Корень как степень
ⁿ√a = a^(1/n) - Складывать можно только подобные корни
2³√2 + 3³√2 = 5³√2 - Разные показатели приводят к общему через степени
- Избавление от иррациональности
1/√2 = √2/2
Порядок действий
- Упростите каждый корень, вынеся множители из-под знака.
- Для умножения и деления объедините подкоренные выражения, если показатели равны.
- При разных показателях перейдите к степеням с дробными показателями.
- Для сложения проверьте, стали ли корни подобными.
- При необходимости избавьтесь от иррациональности в знаменателе.
Разбор примеров
- Упрощаем: 16 = 8 · 2, значит ³√16 = 2³√2.
- 54 = 27 · 2, значит ³√54 = 3³√2.
- Корни подобны: 2 + 3 = 5.
- Показатели одинаковые.
- √(2 · 8) = √16.
- Получается 4.
- Домножаем числитель и знаменатель на √3.
- Получаем √3/3.
Где обычно ошибаются
- Перемножают корни с разными показателями напрямую.
- Складывают подкоренные выражения при сложении корней.
- Не упрощают корни и не замечают, что они подобны.
Степень с рациональным показателем
Определения
- Степень с рациональным показателем
- Запись a^(m/n) означает корень n-й степени из a в степени m: знаменатель показателя даёт степень корня, числитель - степень подкоренного выражения.
Объяснение
Рациональный показатель - это способ записать корень степенью. Определение подобрано так, чтобы сохранились все свойства степеней, и в этом его главная ценность: одни правила работают и для целых, и для дробных показателей.
Основное соотношение: a в степени m/n равно корню n-й степени из a в степени m. Знаменатель показателя задаёт степень корня, числитель - степень подкоренного выражения. Проверить логику легко: возведя a^(1/n) в степень n, по свойству степеней получим a, а это и есть определение корня.
Считать удобнее, извлекая корень первым, а потом возводя в степень. Для 8^(2/3) сначала берём корень третьей степени из 8, это 2, а потом возводим в квадрат - получаем 4. Обратный порядок дал бы 64, а потом корень из него - тот же ответ, но числа крупнее.
Все свойства степеней остаются в силе: при умножении показатели складываются, при возведении степени в степень перемножаются. Именно ради этого рациональный показатель и вводился.
Отрицательный дробный показатель совмещает два правила: сначала переворачиваем, потом извлекаем корень. Выражение 8^(−2/3) равно 1 / 8^(2/3) = 1/4.
Основание степени с дробным показателем принято брать неотрицательным. Причина в том, что для отрицательных оснований результат зависел бы от формы записи дроби, а это ломало бы свойства. Поэтому запись (−8)^(1/3) в школьном курсе избегают, хотя корень третьей степени из −8 существует.
Проверять полезно прикидкой: показатель между нулём и единицей уменьшает число больше единицы. Так, 8^(2/3) = 4 - меньше восьми, и это ожидаемо.
Правила и формулы
- Определение
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) - Удобный порядок счёта
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4 - Свойства степеней сохраняются
- Отрицательный дробный показатель
a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) - Основание берут неотрицательным
Порядок действий
- Разберите показатель: знаменатель - степень корня, числитель - степень числа.
- Если показатель отрицательный, сначала переверните дробь.
- Извлеките корень нужной степени из основания.
- Возведите результат в степень, равную числителю.
- Проверьте прикидкой размер ответа.
Разбор примеров
- Знаменатель 3 - корень третьей степени: ³√8 = 2.
- Числитель 2 - возводим в квадрат.
- 2² = 4.
- ⁴√16 = 2.
- Возводим в куб: 2³ = 8.
- Отрицательный показатель - переворачиваем: 1 / 8^(2/3).
- 8^(2/3) = 4.
- Получаем 1/4.
Где обычно ошибаются
- Меняют местами числитель и знаменатель показателя.
- Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательный результат.
- Возводят в степень до извлечения корня и запутываются в больших числах.
Логарифм числа
Определения
- Логарифм
- Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число. Запись log₂ 8 = 3 означает, что 2³ = 8.
- Основание логарифма
- Число, которое возводят в степень. Обязано быть положительным и не равным единице.
- Область определения
- Логарифм определён только для положительных чисел: логарифма нуля и отрицательных чисел не существует.
Объяснение
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить данное число. Это действие, обратное возведению в степень, как деление обратно умножению, а корень - возведению в степень.
Запись log₂ 8 читается «логарифм восьми по основанию два» и равна 3, потому что 2³ = 8. Самый надёжный способ вычислить логарифм в уме - переформулировать его как вопрос про степень.
Ограничения на основание не случайны. Основание должно быть положительным, иначе степени вели бы себя непредсказуемо. И не равным единице, потому что единица в любой степени даёт единицу, и уравнение 1ˣ = 8 решений не имело бы.
Аргумент логарифма обязан быть положительным. Никакая степень положительного основания не даёт ноль или отрицательное число, поэтому логарифма нуля и отрицательных чисел не существует. При решении уравнений это даёт обязательную проверку области определения.
Полезно знать частные случаи: логарифм единицы по любому основанию равен нулю, потому что любое число в нулевой степени даёт единицу. Логарифм самого основания равен единице. Эти два факта встречаются постоянно.
Отдельные названия имеют логарифмы по основанию 10 и по основанию e: десятичный (lg) и натуральный (ln). Никакой особой природы у них нет, это те же логарифмы с частыми основаниями.
Основное логарифмическое тождество: основание в степени логарифма даёт само число. Это просто определение, записанное иначе, но в преобразованиях оно используется постоянно.
Правила и формулы
- Определение
log_a b = c означает aᶜ = b - Пример
log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8 - Основание: a > 0, a ≠ 1
- Аргумент положителен
log_a 0 и log_a(−5) не существуют - Частные случаи
log_a 1 = 0, log_a a = 1
Порядок действий
- Переформулируйте задачу: в какую степень возвести основание, чтобы получить число.
- Проверьте, что аргумент положителен, а основание допустимо.
- Представьте число как степень основания.
- Показатель этой степени и есть ответ.
- Проверьте: возведите основание в найденную степень.
Разбор примеров
- В какую степень возвести 2, чтобы получить 8?
- 2³ = 8.
- 3⁴ = 81.
- Значит показатель равен 4.
- 1/25 = 5⁻².
- Показатель равен −2.
Где обычно ошибаются
- Пытаются вычислить логарифм отрицательного числа или нуля.
- Путают местами основание и аргумент.
- Считают log_a 1 равным единице вместо нуля.
Свойства логарифмов
Определения
- Свойства логарифмов
- Правила, превращающие произведение в сумму, частное в разность, степень в множитель.
Объяснение
Свойства логарифмов - это свойства степеней, записанные наоборот. Логарифм переводит умножение в сложение, деление в вычитание, возведение в степень в умножение. Именно ради такого упрощения логарифмы и были изобретены.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Понять можно так: если a^x = m и a^y = n, то a^(x+y) = mn, а значит логарифм произведения равен x + y, то есть сумме логарифмов.
Логарифм частного равен разности логарифмов - по той же причине, только показатели вычитаются. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм: log a^k = k · log a, потому что степень степени даёт умножение показателей.
Свойства работают только при одинаковом основании. Складывать логарифмы с разными основаниями напрямую нельзя - сначала их приводят к одному основанию по формуле перехода.
Обратное направление не менее важно: сумму логарифмов сворачивают в логарифм произведения. Выражение log₂ 4 + log₂ 8 равно log₂ 32, то есть 5. Иногда это проще, чем считать каждый логарифм отдельно.
Чего свойства НЕ дают: логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Записать log(a + b) через отдельные логарифмы нельзя никак. Эта ошибка встречается так же часто, как раскрытие квадрата суммы почленно.
Проверять преобразования полезно на числах: подставьте конкретные значения и убедитесь, что обе части равны. Одна подстановка отсеивает большинство ложных «свойств».
Правила и формулы
- Логарифм произведения
log_a(mn) = log_a m + log_a n - Логарифм частного
log_a(m/n) = log_a m − log_a n - Логарифм степени
log_a(mᵏ) = k · log_a m - Свойства требуют одинакового основания
- Логарифма суммы разложить нельзя
log(a + b) ≠ log a + log b
Порядок действий
- Проверьте, что у всех логарифмов одинаковое основание.
- Вынесите показатели степеней множителями вперёд.
- Сверните сумму логарифмов в логарифм произведения или разверните обратно.
- Вычислите получившийся логарифм по определению.
- Проверьте результат подстановкой чисел.
Разбор примеров
- Основания одинаковые - сворачиваем в произведение.
- log₂(4 · 8) = log₂ 32.
- 2⁵ = 32, значит ответ 5.
- Разность логарифмов - логарифм частного.
- log₃(18 : 2) = log₃ 9.
- 3² = 9, ответ 2.
- Показатель выносим вперёд: 3 · log₂ 8.
- log₂ 8 = 3.
- 3 · 3 = 9.
Где обычно ошибаются
- Раскладывают логарифм суммы на сумму логарифмов.
- Применяют свойства к логарифмам с разными основаниями.
- Выносят показатель степени основания вместо показателя аргумента.
Показательные уравнения
Определения
- Показательное уравнение
- Уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени: 2ˣ = 8.
- Приведение к одному основанию
- Преобразование, при котором обе части записывают как степени одного числа, после чего приравнивают показатели.
Объяснение
Показательное уравнение решают приведением обеих частей к одному основанию. Как только основания совпали, можно приравнять показатели - и уравнение становится обычным.
Основание такого шага - строгая монотонность показательной функции. Она принимает каждое значение ровно один раз, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием возможно только при равенстве показателей.
Для уравнения 2ˣ = 8 записываем 8 как 2³, получаем 2ˣ = 2³, откуда x = 3. Основная работа - узнать в правой части степень нужного основания.
Часто приходится преобразовывать обе части. В уравнении 9ˣ = 27 приводим к основанию 3: 3^(2x) = 3³, откуда 2x = 3 и x = 1,5. Заметьте, что показатель левой части удвоился, потому что 9 = 3².
Показательная функция всегда положительна, поэтому уравнение вида 2ˣ = −4 решений не имеет. Проверять это стоит сразу: если справа неположительное число, дальше можно не решать.
Уравнения, сводящиеся к квадратным, решают заменой. В уравнении 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 = 0 обозначают 2ˣ = t, получают t² − 5t + 4 = 0. Найдя t, возвращаются к переменной. Корни t обязаны быть положительными - отрицательные отбрасывают.
Проверять ответ надо подстановкой в исходное уравнение. При замене легко потерять или приобрести корень, и проверка это ловит.
Правила и формулы
- Приводим к одному основанию и приравниваем показатели
aˣ = aᵇ → x = b - Пример
2ˣ = 8 = 2³ → x = 3 - Основание степени преобразуют тоже
9ˣ = 3^(2x) - Показательная функция всегда положительна
2ˣ = −4 решений не имеет - Замена сводит к квадратному
2ˣ = t, при этом t > 0
Порядок действий
- Проверьте, положительна ли правая часть.
- Приведите обе части к степеням одного основания.
- Приравняйте показатели.
- Если уравнение сводится к квадратному, сделайте замену и отбросьте неположительные корни.
- Проверьте ответ подстановкой в исходное уравнение.
Разбор примеров
- Записываем 8 как степень двойки: 8 = 2³.
- Основания совпали.
- Приравниваем показатели: x = 3.
- Приводим к основанию 3: 3^(2x) = 3³.
- 2x = 3.
- x = 1,5.
- Единица - это 5⁰.
- Приравниваем показатели.
Где обычно ошибаются
- Приравнивают показатели при разных основаниях.
- Забывают, что при замене основания показатель тоже меняется.
- Оставляют отрицательный корень после замены.
Логарифмические уравнения
Определения
- Логарифмическое уравнение
- Уравнение, в котором переменная стоит под знаком логарифма: log₂(x + 1) = 3.
- Область допустимых значений
- Множество значений переменной, при которых все логарифмы в уравнении определены. Аргумент каждого логарифма обязан быть положительным.
Объяснение
Логарифмическое уравнение решают, избавляясь от логарифма по определению: если log_a f(x) = b, то f(x) = a^b. Дальше остаётся обычное уравнение.
Но есть обязательный шаг, без которого решение неполно: проверка области допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, и найденные корни надо на это проверять.
Проверка не формальность. Преобразования могут дать корни, при которых логарифм не определён, - такие корни посторонние, и включать их в ответ нельзя. Найти их иначе как проверкой невозможно.
Для уравнения log₂(x + 1) = 3 по определению получаем x + 1 = 2³ = 8, откуда x = 7. Проверяем: аргумент 7 + 1 = 8 положителен, корень годится.
Если логарифмы стоят по обе стороны с одинаковым основанием, их аргументы приравнивают: из log_a f = log_a g следует f = g. Но и здесь проверка области определения обязательна.
Уравнения с несколькими логарифмами сначала сворачивают свойствами в один. Сумму логарифмов заменяют логарифмом произведения, разность - логарифмом частного, и только потом избавляются от логарифма.
Область допустимых значений удобно выписывать до решения, а не после: тогда сразу видно, какие корни заведомо не подойдут, и проверка сводится к сравнению с уже готовым промежутком.
Правила и формулы
- По определению
log_a f(x) = b → f(x) = aᵇ - Равные логарифмы
log_a f = log_a g → f = g - Аргумент логарифма строго положителен
- Несколько логарифмов сворачивают свойствами в один
- Проверка области определения обязательна
Порядок действий
- Выпишите область допустимых значений: аргументы всех логарифмов больше нуля.
- Сверните несколько логарифмов в один, если нужно.
- Избавьтесь от логарифма по определению.
- Решите полученное уравнение.
- Отбросьте корни, не попавшие в область допустимых значений.
Разбор примеров
- Область: x + 1 > 0, значит x > −1.
- По определению: x + 1 = 2³ = 8.
- x = 7.
- Проверка: 7 > −1, корень годится.
- Область: x > 2.
- x − 2 = 3² = 9.
- x = 11, что больше двух.
- Область: x > 0.
- x = 5⁻¹ = 1/5.
- Значение положительно.
Где обычно ошибаются
- Не проверяют область допустимых значений и оставляют посторонний корень.
- Возводят основание не в ту степень, путая стороны равенства.
- Складывают логарифмы с разными основаниями.
Пример с решением
- x = 10^3
- x = 1000
- x = 3^5
- x = 243
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.