Векторы в пространстве: как решать

Действия с векторами в пространстве.

Определения

Вектор: Направленный отрезок. Задаётся координатами - разностями координат конца и начала.
Длина вектора: Расстояние между его началом и концом. В пространстве равна корню из суммы квадратов координат.
Скалярное произведение: Число, равное сумме произведений одноимённых координат векторов. Равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

Объяснение

Векторы в пространстве устроены так же, как на плоскости, только координат три вместо двух. Все формулы получаются добавлением третьего слагаемого, и запоминать их отдельно не нужно.

Сложение и вычитание выполняются покоординатно: складывают первые координаты, вторые и третьи по отдельности. Умножение на число тоже покоординатное - каждая координата умножается на это число.

Длина вектора находится как корень из суммы квадратов координат. Это прямое обобщение теоремы Пифагора на пространство: для вектора (2; 3; 6) длина равна √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

Скалярное произведение - это сумма произведений одноимённых координат: для векторов (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) оно равно a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Результат - число, а не вектор, и это принципиально: скалярное произведение не даёт направления.

Главное применение скалярного произведения - проверка перпендикулярности. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны, и наоборот. Это самый быстрый способ проверить прямой угол по координатам, без всяких чертежей.

Координаты вектора по двум точкам находят вычитанием: из координат конца вычитают координаты начала. Порядок важен - при обратном вычитании получится противоположный вектор, направленный в другую сторону, хотя длина у него будет та же.

Правила и формулы

Координаты вектора по точкамAB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁)
Сложение покоординатное(a₁; a₂; a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃)
Длина вектора|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Скалярное произведениеa · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Перпендикулярностьa · b = 0

Порядок действий

Найдите координаты векторов, вычтя из конца начало.
Для сложения и вычитания работайте покоординатно.
Для длины возведите каждую координату в квадрат, сложите и извлеките корень.
Для скалярного произведения перемножьте одноимённые координаты и сложите.
Нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность.

Разбор примеров

Длина вектора (2; 3; 6)

Квадраты координат: 4, 9, 36.
Сумма: 49.
√49 = 7.

Ответ: 7

Скалярное произведение (1; 2; 3) и (4; −1; 2)

Произведения координат: 1 · 4 = 4, 2 · (−1) = −2, 3 · 2 = 6.
Сумма: 4 − 2 + 6 = 8.

Ответ: 8

Перпендикулярны ли (1; 2; 0) и (2; −1; 5)?

Скалярное произведение: 2 − 2 + 0 = 0.
Оно равно нулю.

Ответ: да, перпендикулярны

Где обычно ошибаются

При нахождении координат вектора вычитают конец из начала.
Считают скалярное произведение вектором, а не числом.
В длине вектора складывают координаты без возведения в квадрат.

Примеры с решением

1. Даны векторы a (2; 2; 5) и b (6; 5; 1). Найдите их скалярное произведение.

a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
= 2 · 6 + 2 · 5 + 5 · 1
= 12 + 10 + 5 = 27

Ответ: 27

2. Дан вектор a с координатами (1; 2; 2). Найдите его длину.

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 1 + 4 + 4 = 9
|a| = √9 = 3

Ответ: 3

3. Дан вектор a с координатами (2; 3; 6). Найдите его длину.

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 4 + 9 + 36 = 49
|a| = √49 = 7

Ответ: 7

4. Дан вектор a с координатами (3; 4; 12). Найдите его длину.

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 9 + 16 + 144 = 169
|a| = √169 = 13

Ответ: 13

5. Дан вектор a с координатами (2; 6; 9). Найдите его длину.

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 4 + 36 + 81 = 121
|a| = √121 = 11

Ответ: 11

Подсказки, если не получается

Координаты перемножаются попарно.
Первую с первой, вторую со второй, третью с третьей.
Полученные три числа сложите.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Стереометрия»

Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.