Шар и сфера: как решать
Найти площадь сферы, объём шара или площадь большого круга.
Определения
- Сфера
- Поверхность, все точки которой равноудалены от центра. Это оболочка, у неё есть площадь.
- Шар
- Тело, ограниченное сферой, вместе с внутренней областью. У шара есть объём.
- Большой круг
- Сечение шара плоскостью, проходящей через центр. Это круг радиуса R, самое большое возможное сечение.
Объяснение
Сфера и шар соотносятся как окружность и круг: сфера - поверхность, шар - тело. У сферы спрашивают площадь, у шара - объём. Путаница здесь такая же частая, как между окружностью и кругом.
Площадь сферы равна 4πR². Полезно заметить, что это ровно четыре площади большого круга: площадь большого круга равна πR², и сфера вчетверо больше. Такое соотношение легко запомнить и трудно перепутать.
Объём шара равен (4/3)πR³. Здесь радиус в кубе, а не в квадрате - это объём, и по размерности должна быть третья степень. Проверка размерностью помогает не перепутать формулы между собой.
Большой круг - это сечение через центр, круг радиуса R. Его площадь πR², и он часто встречается в задачах как промежуточная величина: через него удобно выражать и площадь сферы, и объём. Любое другое сечение шара плоскостью даёт круг меньшего радиуса.
Если дан диаметр, разделите его пополам до подстановки. В формуле объёма радиус стоит в кубе, поэтому подстановка диаметра даёт ответ в восемь раз больше.
Различать, что спрашивают, надо по наименованию ответа: площадь в квадратных единицах, объём в кубических. Если в ответе получились кубические единицы там, где спрашивали площадь, значит взята не та формула, и пересчитывать числа бессмысленно.
Правила и формулы
- Площадь сферы
S = 4πR² - Объём шара
V = (4/3)πR³ - Площадь большого круга
S = πR² - Сфера вчетверо больше большого круга
- В объёме радиус в кубе, в площади - в квадрате
Порядок действий
- Определите, что спрашивают: площадь сферы, объём шара или площадь сечения.
- Найдите радиус, при необходимости разделив диаметр пополам.
- Возведите радиус в квадрат для площади или в куб для объёма.
- Умножьте на нужный коэффициент: 4π, (4/3)π или π.
- Проверьте наименование ответа.
Разбор примеров
- Формула: S = 4πR².
- 3² = 9.
- S = 4π · 9 = 36π.
- Формула: V = (4/3)πR³.
- 3³ = 27.
- V = (4/3)π · 27 = 36π.
- Это обычный круг радиуса 5.
- S = π · 25 = 25π.
Где обычно ошибаются
- В объёме возводят радиус в квадрат вместо куба.
- Путают площадь сферы с площадью большого круга - разница в четыре раза.
- Подставляют диаметр вместо радиуса.
Примеры с решением
- V = (4/3)πr³
- r³ = 8
- V = 4 · 3,14 · 8 : 3 ≈ 33,49 см³
- V = (4/3)πr³
- r³ = 64
- V = 4 · 3,14 · 64 : 3 ≈ 267,95 см³
- S = 4πr²
- r² = 9
- S = 4 · 3,14 · 9 ≈ 113,04 см²
- S = 4πr²
- r² = 1
- S = 4 · 3,14 · 1 ≈ 12,56 см²
- V = (4/3)πr³
- r³ = 2744
- V = 4 · 3,14 · 2744 : 3 ≈ 11488,21 см³
Подсказки, если не получается
- В формуле объёма шара есть множитель четыре третьих.
- V = (4/3)πr³
- Посчитайте r³ = 8.
Другие темы раздела «Стереометрия»
Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.