Цилиндр и конус: как решать

Найти объём цилиндра или конуса.

Определения

Цилиндр: Тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг стороны. Основания - равные круги.
Конус: Тело вращения, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Основание - круг, вершина - точка.
Образующая конуса: Отрезок от вершины до точки окружности основания. Не совпадает с высотой.

Объяснение

Цилиндр и конус относятся к тем же двум семействам, что призма и пирамида. Цилиндр - это призматическое тело с круглым основанием, конус - пирамидальное. Поэтому и формулы объёма у них те же самые.

Объём цилиндра равен площади основания на высоту: V = πR²h. Площадь основания здесь - площадь круга, отсюда и появляется πR².

Объём конуса втрое меньше: V = (1/3)πR²h. Множитель одна треть тот же, что у пирамиды, и по той же причине - конус помещается в цилиндр с тем же основанием и высотой ровно три раза.

Высота - перпендикуляр от вершины или от одного основания к другому. У конуса высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому образующая всегда длиннее высоты. Подставлять образующую вместо высоты нельзя - это ошибка, аналогичная апофеме у пирамиды.

Если дан диаметр основания, первым делом переведите его в радиус делением пополам. В формулу входит именно радиус, причём в квадрате, поэтому ошибка удваивается: ответ выйдет вчетверо больше. Привычка выписывать радиус отдельной строкой снимает эту ошибку полностью.

В ответах π обычно оставляют символом. Если задача требует числа, π заменяют на 3,14 в самом конце, а не по ходу вычислений: округление промежуточных значений накапливает погрешность.

Правила и формулы

Объём цилиндраV = πR²h
Объём конусаV = (1/3)πR²h
Конус втрое меньше цилиндра с тем же основанием и высотой
Образующая конуса длиннее высотыl² = R² + h²
Если дан диаметр, сначала найдите радиус

Порядок действий

Определите тело: цилиндр или конус.
Найдите радиус основания, при необходимости разделив диаметр пополам.
Вычислите площадь основания πR².
Умножьте на высоту.
Для конуса разделите результат на три.

Разбор примеров

Цилиндр: радиус 3, высота 5

Площадь основания: π · 9 = 9π.
V = 9π · 5 = 45π.

Ответ: 45π

Конус: радиус 3, высота 5

Площадь основания: 9π.
9π · 5 = 45π.
Делим на три: 15π.

Ответ: 15π

Цилиндр: диаметр 8, высота 10

Радиус: 8 : 2 = 4.
Площадь основания: 16π.
V = 16π · 10 = 160π.

Ответ: 160π

Где обычно ошибаются

Для конуса забывают множитель одна треть.
Подставляют диаметр вместо радиуса - ответ вчетверо больше.
Берут образующую конуса вместо высоты.

Примеры с решением

1. Радиус основания конуса 7 см, высота 12 см. Найдите объём конуса. Считайте π ≈ 3,14.

V = (1/3) · πr²h
πr² = 3,14 · 49 = 153,86 см²
V = 153,86 · 12 : 3 ≈ 615,44 см³

Ответ: 615.44

2. Радиус основания цилиндра 4 см, высота 3 см. Найдите объём цилиндра. Считайте π ≈ 3,14.

V = πr²h
πr² = 3,14 · 16 = 50,24 см²
V = 50,24 · 3 ≈ 150,72 см³

Ответ: 150.72

3. Радиус основания цилиндра 2 см, высота 11 см. Найдите объём цилиндра. Считайте π ≈ 3,14.

V = πr²h
πr² = 3,14 · 4 = 12,56 см²
V = 12,56 · 11 ≈ 138,16 см³

Ответ: 138.16

4. Радиус основания конуса 3 см, высота 9 см. Найдите объём конуса. Считайте π ≈ 3,14.

V = (1/3) · πr²h
πr² = 3,14 · 9 = 28,26 см²
V = 28,26 · 9 : 3 ≈ 84,78 см³

Ответ: 84.78

5. Радиус основания цилиндра 6 см, высота 2 см. Найдите объём цилиндра. Считайте π ≈ 3,14.

V = πr²h
πr² = 3,14 · 36 = 113,04 см²
V = 113,04 · 2 ≈ 226,08 см³

Ответ: 226.08

Подсказки, если не получается

Конус — «треть» цилиндра.
Найдите площадь основания: 3,14 · 49.
Умножьте на высоту и разделите на 3.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Стереометрия»

Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.