Призма: как решать

Найти объём призмы.

Определения

Призма: Многогранник, у которого два основания - равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани - параллелограммы.
Прямая призма: Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям. У неё боковые грани - прямоугольники, а высота равна боковому ребру.

Объяснение

Объём призмы находят по общему принципу для всех призматических тел: площадь основания умножить на высоту. Никаких отдельных формул для треугольной, четырёхугольной или шестиугольной призмы не требуется - меняется только способ найти площадь основания.

Понять формулу можно так: призма - это стопка одинаковых плоских слоёв. Каждый слой имеет площадь основания, а сколько слоёв - определяет высота. Отсюда произведение.

Основная работа в задаче - вычислить площадь основания. Для треугольной призмы это площадь треугольника, для шестиугольной - площадь правильного шестиугольника. Именно здесь чаще всего и ошибаются, а не в самом умножении.

Высота - это расстояние между плоскостями оснований, то есть перпендикуляр. У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, у наклонной - нет: боковое ребро там длиннее высоты. Подставлять ребро вместо высоты в наклонной призме нельзя.

Прямоугольный параллелепипед - частный случай призмы с прямоугольным основанием. Формула V = a · b · c получается из общей: площадь основания равна a · b, высота равна c.

Проверять надо наименования: объём в кубических единицах. Если площадь основания в квадратных сантиметрах, а высота в сантиметрах, произведение даёт кубические сантиметры - всё сходится.

Правила и формулы

Объём призмыV = S · h
S - площадь основания, h - высота
У прямой призмы высота равна боковому ребру
Параллелепипед - частный случайV = a · b · c
Ответ - в кубических единицах

Порядок действий

Определите форму основания призмы.
Вычислите площадь основания подходящей формулой.
Найдите высоту - расстояние между основаниями.
Перемножьте площадь основания и высоту.
Проверьте наименование ответа.

Разбор примеров

Площадь основания 12, высота 7

Формула: V = S · h.
12 · 7 = 84.

Ответ: 84

Треугольная призма: основание - треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы 10

Площадь основания: (3 · 4)/2 = 6.
V = 6 · 10 = 60.

Ответ: 60

Параллелепипед 5 × 4 × 3

Площадь основания: 5 · 4 = 20.
V = 20 · 3 = 60.

Ответ: 60

Где обычно ошибаются

Берут боковое ребро вместо высоты у наклонной призмы.
Ошибаются в площади основания, а не в самой формуле объёма.
Добавляют множитель одна треть, путая призму с пирамидой.

Примеры с решением

1. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 10 см и 6 см, высота призмы 14 см. Найдите площадь боковой поверхности.

S_бок = P · h
P = 2 · (10 + 6) = 32 см
S_бок = 32 · 14 = 448 см²

Ответ: 448

2. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 7 см и 3 см, высота призмы 12 см. Найдите площадь боковой поверхности.

S_бок = P · h
P = 2 · (7 + 3) = 20 см
S_бок = 20 · 12 = 240 см²

Ответ: 240

3. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см, высота призмы 3 см. Найдите площадь боковой поверхности.

S_бок = P · h
P = 2 · (8 + 4) = 24 см
S_бок = 24 · 3 = 72 см²

Ответ: 72

4. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 11 см и 7 см, высота призмы 5 см. Найдите площадь боковой поверхности.

S_бок = P · h
P = 2 · (11 + 7) = 36 см
S_бок = 36 · 5 = 180 см²

Ответ: 180

5. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см, высота призмы 13 см. Найдите объём призмы.

V = S · h
S = 6 · 4 = 24 см²
V = 24 · 13 = 312 см³

Ответ: 312

Подсказки, если не получается

Разверните боковую поверхность в прямоугольник.
Его стороны — периметр основания и высота.
32 · 14 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Стереометрия»

Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.