Пирамида: как решать

Найти объём пирамиды.

Определения

Пирамида: Многогранник, основание которого - многоугольник, а боковые грани - треугольники с общей вершиной.
Высота пирамиды: Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Апофема: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины. С высотой пирамиды не совпадает.

Объяснение

Объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Отсюда формула V = (1/3) · S · h, и множитель одна треть - главное, что отличает её от призмы.

Множитель не выдуман: три пирамиды с общим основанием и высотой действительно складываются в призму. Проверить это можно и опытом - пирамидальный сосуд входит в призматический ровно три раза.

Как и у призмы, основная работа - найти площадь основания. Для правильной четырёхугольной пирамиды это квадрат, для треугольной - треугольник. Формула объёма от формы основания не зависит.

Высота пирамиды - это перпендикуляр из вершины на плоскость основания, а не боковое ребро и не апофема. Апофема - высота боковой грани, она длиннее высоты пирамиды. Подстановка апофемы вместо высоты - самая частая ошибка темы.

Если высота не дана напрямую, её находят по теореме Пифагора. В правильной пирамиде высота, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник; высота, боковое ребро и половина диагонали основания - другой.

Проверять ответ полезно сравнением: объём пирамиды обязан быть втрое меньше объёма призмы с тем же основанием. Если получилось столько же или больше, значит множитель одна треть потерян - это самая частая ошибка в теме.

Правила и формулы

Объём пирамидыV = (1/3) · S · h
Втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой
Высота - перпендикуляр из вершины на основание
Апофема - высота боковой грани, не высота пирамиды
Высоту часто находят по теореме Пифагора

Порядок действий

Определите форму основания и вычислите его площадь.
Найдите высоту - перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
Если высота не дана, найдите её по теореме Пифагора.
Перемножьте площадь основания и высоту.
Разделите произведение на три.

Разбор примеров

Площадь основания 12, высота 5

Формула: V = (1/3) · S · h.
12 · 5 = 60.
60 : 3 = 20.

Ответ: 20

Основание - квадрат со стороной 6, высота 10

Площадь основания: 6² = 36.
36 · 10 = 360.
360 : 3 = 120.

Ответ: 120

Основание - треугольник площадью 9, высота 4

9 · 4 = 36.
36 : 3 = 12.

Ответ: 12

Где обычно ошибаются

Забывают множитель одна треть и получают объём призмы.
Подставляют апофему или боковое ребро вместо высоты.
Делят на три площадь основания, а не всё произведение.

Примеры с решением

1. Основание пирамиды — квадрат со стороной 5 см, высота пирамиды 12 см. Найдите объём пирамиды.

V = (1/3) · S · h
S = 5² = 25 см²
V = 25 · 12 : 3 = 100 см³

Ответ: 100

2. Основание пирамиды — квадрат со стороной 8 см, высота пирамиды 9 см. Найдите объём пирамиды.

V = (1/3) · S · h
S = 8² = 64 см²
V = 64 · 9 : 3 = 192 см³

Ответ: 192

3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 7 см, высота пирамиды 18 см. Найдите объём пирамиды.

V = (1/3) · S · h
S = 7² = 49 см²
V = 49 · 18 : 3 = 294 см³

Ответ: 294

4. Основание пирамиды — квадрат со стороной 12 см, высота пирамиды 3 см. Найдите объём пирамиды.

V = (1/3) · S · h
S = 12² = 144 см²
V = 144 · 3 : 3 = 144 см³

Ответ: 144

5. Основание пирамиды — квадрат со стороной 4 см, высота пирамиды 6 см. Найдите объём пирамиды.

V = (1/3) · S · h
S = 4² = 16 см²
V = 16 · 6 : 3 = 32 см³

Ответ: 32

Подсказки, если не получается

У пирамиды в формуле появляется множитель одна третья.
Площадь основания: 5² = 25.
Умножьте на высоту и разделите на 3.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Стереометрия»

Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.