Подобные тела: как решать
Найти объём или площадь подобного тела.
Определения
- Подобные тела
- Тела одинаковой формы разного размера. Все соответственные линейные размеры относятся как коэффициент подобия.
Объяснение
Подобие в пространстве работает так же, как на плоскости, но добавляется третье измерение, и это меняет поведение объёма.
Линейные размеры - рёбра, радиусы, высоты - относятся как коэффициент подобия k. Площади поверхностей относятся как k², а объёмы как k³. Показатель степени совпадает с числом измерений: длина одномерна, площадь двумерна, объём трёхмерен.
Практическое следствие бывает неожиданным. Если увеличить тело вдвое, поверхность вырастет вчетверо, а объём в восемь раз. Именно поэтому большие животные не бывают просто увеличенными копиями маленьких: масса растёт быстрее, чем прочность костей.
В задачах обычно даётся отношение одних величин, а спрашивается отношение других. Путь всегда один: сначала найти коэффициент подобия k, а потом возвести его в нужную степень.
Если дано отношение объёмов, коэффициент находят извлечением кубического корня. Объёмы относятся как 27 к 8 - значит k равен 3/2, потому что кубический корень из 27/8 равен 3/2. Дальше через этот коэффициент выражают любую нужную величину.
Проверять полезно на здравом смысле: у большего тела все величины больше, и объём растёт быстрее площади, а площадь быстрее длины. Ответ, нарушающий этот порядок, ошибочен, даже если арифметика в нём безупречна.
Правила и формулы
- Линейные размеры
l₁/l₂ = k - Площади поверхностей
S₁/S₂ = k² - Объёмы
V₁/V₂ = k³ - От объёмов к линейным размерам - кубический корень
- Увеличение вдвое даёт восьмикратный объём
Порядок действий
- Найдите коэффициент подобия по известной паре линейных размеров.
- Если дано отношение площадей, извлеките квадратный корень.
- Если дано отношение объёмов, извлеките кубический корень.
- Возведите коэффициент в нужную степень: 2 для площади, 3 для объёма.
- Проверьте порядок роста величин.
Разбор примеров
- Объём растёт как куб коэффициента.
- 2³ = 8.
- Площадь растёт как квадрат.
- 3² = 9.
- Извлекаем кубический корень из отношения.
- ∛27 = 3, ∛8 = 2.
Где обычно ошибаются
- Возводят коэффициент в квадрат при работе с объёмами.
- От объёмов к линейным размерам извлекают квадратный корень вместо кубического.
- Умножают объём на сам коэффициент без возведения в степень.
Примеры с решением
- S₂ : S₁ = k²
- k² = 3² = 9
- S₂ = 23 · 9 = 207 см²
- S₂ : S₁ = k²
- k² = 2² = 4
- S₂ = 11 · 4 = 44 см²
- V₂ : V₁ = k³
- k³ = 3³ = 27
- V₂ = 10 · 27 = 270 см³
- V₂ : V₁ = k³
- k³ = 2³ = 8
- V₂ = 12 · 8 = 96 см³
- V₂ : V₁ = k³
- k³ = 3³ = 27
- V₂ = 19 · 27 = 513 см³
Подсказки, если не получается
- Площади растут не так же, как длины.
- Площади относятся как квадрат коэффициента.
- Умножьте площадь на 3² = 9.
Другие темы раздела «Стереометрия»
Полная справка по разделу — на странице Стереометрия.