Стереометрия
Объём призмы и цилиндра — площадь основания на высоту; у пирамиды и конуса — треть от этого.
Содержание
- ПризмаНайти объём призмы.
- ПирамидаНайти объём пирамиды.
- Цилиндр и конусНайти объём цилиндра или конуса.
- Шар и сфераНайти площадь сферы, объём шара или площадь большого круга.
- Подобные телаНайти объём или площадь подобного тела.
- Векторы в пространствеДействия с векторами в пространстве.
Призма
Определения
- Призма
- Многогранник, у которого два основания - равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани - параллелограммы.
- Прямая призма
- Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям. У неё боковые грани - прямоугольники, а высота равна боковому ребру.
Объяснение
Объём призмы находят по общему принципу для всех призматических тел: площадь основания умножить на высоту. Никаких отдельных формул для треугольной, четырёхугольной или шестиугольной призмы не требуется - меняется только способ найти площадь основания.
Понять формулу можно так: призма - это стопка одинаковых плоских слоёв. Каждый слой имеет площадь основания, а сколько слоёв - определяет высота. Отсюда произведение.
Основная работа в задаче - вычислить площадь основания. Для треугольной призмы это площадь треугольника, для шестиугольной - площадь правильного шестиугольника. Именно здесь чаще всего и ошибаются, а не в самом умножении.
Высота - это расстояние между плоскостями оснований, то есть перпендикуляр. У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, у наклонной - нет: боковое ребро там длиннее высоты. Подставлять ребро вместо высоты в наклонной призме нельзя.
Прямоугольный параллелепипед - частный случай призмы с прямоугольным основанием. Формула V = a · b · c получается из общей: площадь основания равна a · b, высота равна c.
Проверять надо наименования: объём в кубических единицах. Если площадь основания в квадратных сантиметрах, а высота в сантиметрах, произведение даёт кубические сантиметры - всё сходится.
Правила и формулы
- Объём призмы
V = S · h - S - площадь основания, h - высота
- У прямой призмы высота равна боковому ребру
- Параллелепипед - частный случай
V = a · b · c - Ответ - в кубических единицах
Порядок действий
- Определите форму основания призмы.
- Вычислите площадь основания подходящей формулой.
- Найдите высоту - расстояние между основаниями.
- Перемножьте площадь основания и высоту.
- Проверьте наименование ответа.
Разбор примеров
- Формула: V = S · h.
- 12 · 7 = 84.
- Площадь основания: (3 · 4)/2 = 6.
- V = 6 · 10 = 60.
- Площадь основания: 5 · 4 = 20.
- V = 20 · 3 = 60.
Где обычно ошибаются
- Берут боковое ребро вместо высоты у наклонной призмы.
- Ошибаются в площади основания, а не в самой формуле объёма.
- Добавляют множитель одна треть, путая призму с пирамидой.
Пирамида
Определения
- Пирамида
- Многогранник, основание которого - многоугольник, а боковые грани - треугольники с общей вершиной.
- Высота пирамиды
- Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
- Апофема
- Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины. С высотой пирамиды не совпадает.
Объяснение
Объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Отсюда формула V = (1/3) · S · h, и множитель одна треть - главное, что отличает её от призмы.
Множитель не выдуман: три пирамиды с общим основанием и высотой действительно складываются в призму. Проверить это можно и опытом - пирамидальный сосуд входит в призматический ровно три раза.
Как и у призмы, основная работа - найти площадь основания. Для правильной четырёхугольной пирамиды это квадрат, для треугольной - треугольник. Формула объёма от формы основания не зависит.
Высота пирамиды - это перпендикуляр из вершины на плоскость основания, а не боковое ребро и не апофема. Апофема - высота боковой грани, она длиннее высоты пирамиды. Подстановка апофемы вместо высоты - самая частая ошибка темы.
Если высота не дана напрямую, её находят по теореме Пифагора. В правильной пирамиде высота, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник; высота, боковое ребро и половина диагонали основания - другой.
Проверять ответ полезно сравнением: объём пирамиды обязан быть втрое меньше объёма призмы с тем же основанием. Если получилось столько же или больше, значит множитель одна треть потерян - это самая частая ошибка в теме.
Правила и формулы
- Объём пирамиды
V = (1/3) · S · h - Втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой
- Высота - перпендикуляр из вершины на основание
- Апофема - высота боковой грани, не высота пирамиды
- Высоту часто находят по теореме Пифагора
Порядок действий
- Определите форму основания и вычислите его площадь.
- Найдите высоту - перпендикуляр из вершины на плоскость основания.
- Если высота не дана, найдите её по теореме Пифагора.
- Перемножьте площадь основания и высоту.
- Разделите произведение на три.
Разбор примеров
- Формула: V = (1/3) · S · h.
- 12 · 5 = 60.
- 60 : 3 = 20.
- Площадь основания: 6² = 36.
- 36 · 10 = 360.
- 360 : 3 = 120.
- 9 · 4 = 36.
- 36 : 3 = 12.
Где обычно ошибаются
- Забывают множитель одна треть и получают объём призмы.
- Подставляют апофему или боковое ребро вместо высоты.
- Делят на три площадь основания, а не всё произведение.
Цилиндр и конус
Определения
- Цилиндр
- Тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг стороны. Основания - равные круги.
- Конус
- Тело вращения, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Основание - круг, вершина - точка.
- Образующая конуса
- Отрезок от вершины до точки окружности основания. Не совпадает с высотой.
Объяснение
Цилиндр и конус относятся к тем же двум семействам, что призма и пирамида. Цилиндр - это призматическое тело с круглым основанием, конус - пирамидальное. Поэтому и формулы объёма у них те же самые.
Объём цилиндра равен площади основания на высоту: V = πR²h. Площадь основания здесь - площадь круга, отсюда и появляется πR².
Объём конуса втрое меньше: V = (1/3)πR²h. Множитель одна треть тот же, что у пирамиды, и по той же причине - конус помещается в цилиндр с тем же основанием и высотой ровно три раза.
Высота - перпендикуляр от вершины или от одного основания к другому. У конуса высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому образующая всегда длиннее высоты. Подставлять образующую вместо высоты нельзя - это ошибка, аналогичная апофеме у пирамиды.
Если дан диаметр основания, первым делом переведите его в радиус делением пополам. В формулу входит именно радиус, причём в квадрате, поэтому ошибка удваивается: ответ выйдет вчетверо больше. Привычка выписывать радиус отдельной строкой снимает эту ошибку полностью.
В ответах π обычно оставляют символом. Если задача требует числа, π заменяют на 3,14 в самом конце, а не по ходу вычислений: округление промежуточных значений накапливает погрешность.
Правила и формулы
- Объём цилиндра
V = πR²h - Объём конуса
V = (1/3)πR²h - Конус втрое меньше цилиндра с тем же основанием и высотой
- Образующая конуса длиннее высоты
l² = R² + h² - Если дан диаметр, сначала найдите радиус
Порядок действий
- Определите тело: цилиндр или конус.
- Найдите радиус основания, при необходимости разделив диаметр пополам.
- Вычислите площадь основания πR².
- Умножьте на высоту.
- Для конуса разделите результат на три.
Разбор примеров
- Площадь основания: π · 9 = 9π.
- V = 9π · 5 = 45π.
- Площадь основания: 9π.
- 9π · 5 = 45π.
- Делим на три: 15π.
- Радиус: 8 : 2 = 4.
- Площадь основания: 16π.
- V = 16π · 10 = 160π.
Где обычно ошибаются
- Для конуса забывают множитель одна треть.
- Подставляют диаметр вместо радиуса - ответ вчетверо больше.
- Берут образующую конуса вместо высоты.
Шар и сфера
Определения
- Сфера
- Поверхность, все точки которой равноудалены от центра. Это оболочка, у неё есть площадь.
- Шар
- Тело, ограниченное сферой, вместе с внутренней областью. У шара есть объём.
- Большой круг
- Сечение шара плоскостью, проходящей через центр. Это круг радиуса R, самое большое возможное сечение.
Объяснение
Сфера и шар соотносятся как окружность и круг: сфера - поверхность, шар - тело. У сферы спрашивают площадь, у шара - объём. Путаница здесь такая же частая, как между окружностью и кругом.
Площадь сферы равна 4πR². Полезно заметить, что это ровно четыре площади большого круга: площадь большого круга равна πR², и сфера вчетверо больше. Такое соотношение легко запомнить и трудно перепутать.
Объём шара равен (4/3)πR³. Здесь радиус в кубе, а не в квадрате - это объём, и по размерности должна быть третья степень. Проверка размерностью помогает не перепутать формулы между собой.
Большой круг - это сечение через центр, круг радиуса R. Его площадь πR², и он часто встречается в задачах как промежуточная величина: через него удобно выражать и площадь сферы, и объём. Любое другое сечение шара плоскостью даёт круг меньшего радиуса.
Если дан диаметр, разделите его пополам до подстановки. В формуле объёма радиус стоит в кубе, поэтому подстановка диаметра даёт ответ в восемь раз больше.
Различать, что спрашивают, надо по наименованию ответа: площадь в квадратных единицах, объём в кубических. Если в ответе получились кубические единицы там, где спрашивали площадь, значит взята не та формула, и пересчитывать числа бессмысленно.
Правила и формулы
- Площадь сферы
S = 4πR² - Объём шара
V = (4/3)πR³ - Площадь большого круга
S = πR² - Сфера вчетверо больше большого круга
- В объёме радиус в кубе, в площади - в квадрате
Порядок действий
- Определите, что спрашивают: площадь сферы, объём шара или площадь сечения.
- Найдите радиус, при необходимости разделив диаметр пополам.
- Возведите радиус в квадрат для площади или в куб для объёма.
- Умножьте на нужный коэффициент: 4π, (4/3)π или π.
- Проверьте наименование ответа.
Разбор примеров
- Формула: S = 4πR².
- 3² = 9.
- S = 4π · 9 = 36π.
- Формула: V = (4/3)πR³.
- 3³ = 27.
- V = (4/3)π · 27 = 36π.
- Это обычный круг радиуса 5.
- S = π · 25 = 25π.
Где обычно ошибаются
- В объёме возводят радиус в квадрат вместо куба.
- Путают площадь сферы с площадью большого круга - разница в четыре раза.
- Подставляют диаметр вместо радиуса.
Подобные тела
Определения
- Подобные тела
- Тела одинаковой формы разного размера. Все соответственные линейные размеры относятся как коэффициент подобия.
Объяснение
Подобие в пространстве работает так же, как на плоскости, но добавляется третье измерение, и это меняет поведение объёма.
Линейные размеры - рёбра, радиусы, высоты - относятся как коэффициент подобия k. Площади поверхностей относятся как k², а объёмы как k³. Показатель степени совпадает с числом измерений: длина одномерна, площадь двумерна, объём трёхмерен.
Практическое следствие бывает неожиданным. Если увеличить тело вдвое, поверхность вырастет вчетверо, а объём в восемь раз. Именно поэтому большие животные не бывают просто увеличенными копиями маленьких: масса растёт быстрее, чем прочность костей.
В задачах обычно даётся отношение одних величин, а спрашивается отношение других. Путь всегда один: сначала найти коэффициент подобия k, а потом возвести его в нужную степень.
Если дано отношение объёмов, коэффициент находят извлечением кубического корня. Объёмы относятся как 27 к 8 - значит k равен 3/2, потому что кубический корень из 27/8 равен 3/2. Дальше через этот коэффициент выражают любую нужную величину.
Проверять полезно на здравом смысле: у большего тела все величины больше, и объём растёт быстрее площади, а площадь быстрее длины. Ответ, нарушающий этот порядок, ошибочен, даже если арифметика в нём безупречна.
Правила и формулы
- Линейные размеры
l₁/l₂ = k - Площади поверхностей
S₁/S₂ = k² - Объёмы
V₁/V₂ = k³ - От объёмов к линейным размерам - кубический корень
- Увеличение вдвое даёт восьмикратный объём
Порядок действий
- Найдите коэффициент подобия по известной паре линейных размеров.
- Если дано отношение площадей, извлеките квадратный корень.
- Если дано отношение объёмов, извлеките кубический корень.
- Возведите коэффициент в нужную степень: 2 для площади, 3 для объёма.
- Проверьте порядок роста величин.
Разбор примеров
- Объём растёт как куб коэффициента.
- 2³ = 8.
- Площадь растёт как квадрат.
- 3² = 9.
- Извлекаем кубический корень из отношения.
- ∛27 = 3, ∛8 = 2.
Где обычно ошибаются
- Возводят коэффициент в квадрат при работе с объёмами.
- От объёмов к линейным размерам извлекают квадратный корень вместо кубического.
- Умножают объём на сам коэффициент без возведения в степень.
Векторы в пространстве
Определения
- Вектор
- Направленный отрезок. Задаётся координатами - разностями координат конца и начала.
- Длина вектора
- Расстояние между его началом и концом. В пространстве равна корню из суммы квадратов координат.
- Скалярное произведение
- Число, равное сумме произведений одноимённых координат векторов. Равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
Объяснение
Векторы в пространстве устроены так же, как на плоскости, только координат три вместо двух. Все формулы получаются добавлением третьего слагаемого, и запоминать их отдельно не нужно.
Сложение и вычитание выполняются покоординатно: складывают первые координаты, вторые и третьи по отдельности. Умножение на число тоже покоординатное - каждая координата умножается на это число.
Длина вектора находится как корень из суммы квадратов координат. Это прямое обобщение теоремы Пифагора на пространство: для вектора (2; 3; 6) длина равна √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
Скалярное произведение - это сумма произведений одноимённых координат: для векторов (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) оно равно a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Результат - число, а не вектор, и это принципиально: скалярное произведение не даёт направления.
Главное применение скалярного произведения - проверка перпендикулярности. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны, и наоборот. Это самый быстрый способ проверить прямой угол по координатам, без всяких чертежей.
Координаты вектора по двум точкам находят вычитанием: из координат конца вычитают координаты начала. Порядок важен - при обратном вычитании получится противоположный вектор, направленный в другую сторону, хотя длина у него будет та же.
Правила и формулы
- Координаты вектора по точкам
AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) - Сложение покоординатное
(a₁; a₂; a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (a₁+b₁; a₂+b₂; a₃+b₃) - Длина вектора
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) - Скалярное произведение
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ - Перпендикулярность
a · b = 0
Порядок действий
- Найдите координаты векторов, вычтя из конца начало.
- Для сложения и вычитания работайте покоординатно.
- Для длины возведите каждую координату в квадрат, сложите и извлеките корень.
- Для скалярного произведения перемножьте одноимённые координаты и сложите.
- Нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность.
Разбор примеров
- Квадраты координат: 4, 9, 36.
- Сумма: 49.
- √49 = 7.
- Произведения координат: 1 · 4 = 4, 2 · (−1) = −2, 3 · 2 = 6.
- Сумма: 4 − 2 + 6 = 8.
- Скалярное произведение: 2 − 2 + 0 = 0.
- Оно равно нулю.
Где обычно ошибаются
- При нахождении координат вектора вычитают конец из начала.
- Считают скалярное произведение вектором, а не числом.
- В длине вектора складывают координаты без возведения в квадрат.
Пример с решением
- S_бок = P · h
- P = 2 · (10 + 6) = 32 см
- S_бок = 32 · 14 = 448 см²
- S_бок = P · h
- P = 2 · (7 + 3) = 20 см
- S_бок = 20 · 12 = 240 см²
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.