Перестановки и факториал: как решать

Перестановки, факториал и размещения.

Определения

Факториал: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Перестановка: Способ расставить n различных предметов в ряд. Число перестановок равно n!.
Размещение: Выбор k предметов из n с учётом порядка. Число размещений равно n · (n−1) · … · (n−k+1).

Объяснение

Перестановки отвечают на вопрос: сколькими способами можно расставить в ряд n различных предметов. Ответ даёт правило умножения: на первое место есть n кандидатов, на второе остаётся n − 1, дальше n − 2 и так до единицы.

Произведение всех этих чисел и называют факториалом: n! = n · (n−1) · … · 2 · 1. Для пяти предметов получается 5! = 120 перестановок.

Факториал растёт очень быстро. Уже 10! больше трёх миллионов, а 20! - число из девятнадцати цифр. Поэтому в задачах перестановки обычно считают для небольших n, а большие оставляют в записи факториала.

По договорённости 0! = 1. Это не произвол: пустой ряд можно составить ровно одним способом - не поставить ничего. Такое соглашение делает формулы комбинаторики единообразными.

Размещения - это перестановки не всех предметов, а только выбранной части. Если из 5 предметов надо выбрать 3 и расставить по порядку, получаем 5 · 4 · 3 = 60 способов. Множителей ровно столько, сколько мест.

Отличие размещений от сочетаний - в учёте порядка. Если важно, кто занял первое место, а кто второе, это размещения. Если важен только состав группы, порядок не считается, и это уже сочетания - их всегда меньше, потому что каждая группа посчитана в размещениях по нескольку раз.

Правила и формулы

Факториалn! = n · (n−1) · … · 2 · 1
Число перестановокPₙ = n!
По договорённости0! = 1
Размещения из n по kA = n · (n−1) · … · (n−k+1)
В размещениях порядок важен

Порядок действий

Определите, все ли предметы расставляются или только часть.
Для всех предметов посчитайте факториал.
Для части выпишите столько убывающих множителей, сколько мест.
Перемножьте.
Проверьте, важен ли порядок - иначе нужны сочетания.

Разбор примеров

Сколькими способами расставить 5 книг?

Все предметы расставляются - это перестановки.
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5.
Получается 120.

Ответ: 120

Сколько способов выбрать из 5 человек трёх на 1, 2 и 3 место?

Порядок важен - это размещения.
На первое место 5 кандидатов, на второе 4, на третье 3.
5 · 4 · 3 = 60.

Ответ: 60

Вычислить 4!

1 · 2 = 2.
2 · 3 = 6.
6 · 4 = 24.

Ответ: 24

Где обычно ошибаются

Считают 0! равным нулю.
В размещениях берут все n множителей вместо k.
Применяют перестановки там, где порядок не важен.

Примеры с решением

1. Сколькими способами можно расставить 5 букв в слове из разных букв?

P5 = 5!
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Ответ: 120

2. В соревновании участвуют 3 спортсмена. Сколькими способами могут распределиться первое и второе места?

На первое место — 3 вариантов
На каждое следующее на одного меньше: 3 · 2
= 6

Ответ: 6

3. Сколькими способами можно расставить 5 участников в очереди?

P5 = 5!
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Ответ: 120

4. Вычислите 7!.

7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7
= 5040

Ответ: 5040

5. Сколькими способами можно расставить 4 буквы в слове из разных букв?

P4 = 4!
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

Ответ: 24

Подсказки, если не получается

На первое место можно поставить любой из элементов, на второе — любой из оставшихся, и так далее.
Получается произведение 5 · 4 · … · 1.
Это и есть факториал n!.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Вероятность»

Полная справка по разделу — на странице Вероятность.