Монета и игральная кость: как решать
Вероятность в опытах с монетой и костью.
Определения
- Игральная кость
- Кубик с гранями от 1 до 6. При одном броске шесть равновозможных исходов.
- Пространство исходов
- Перечень всех возможных результатов опыта. Для двух костей это 36 пар, для двух монет - 4 пары.
Объяснение
Монета и кость - стандартные примеры, на которых разбирают вероятность. Их удобство в том, что все исходы равновозможны и легко перечислимы.
Один бросок монеты даёт два исхода, один бросок кости - шесть. Вероятность любой конкретной грани равна 1/6, вероятность орла - 1/2.
Когда бросков два, число исходов перемножается. Две монеты дают 2 · 2 = 4 исхода, две кости - 6 · 6 = 36. Перечислять их надо парами, где важен порядок: выпадение 1 и 3 отличается от 3 и 1, хотя сумма одна и та же.
Именно это перечисление парами и вызывает больше всего ошибок. Для суммы 7 на двух костях благоприятны пары (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) - шесть пар, а не три. Вероятность равна 6/36 = 1/6.
Полезно помнить, что сумма 7 - самая вероятная при броске двух костей, а суммы 2 и 12 - самые редкие, у них по одной паре. Это можно использовать как проверку: подсчёт, дающий одинаковую вероятность для 7 и для 2, точно ошибочен, потому что семёрку даёт шесть пар, а двойку только одна.
Для монет тот же принцип: при двух бросках исход «один орёл и одна решка» вдвое вероятнее, чем «два орла», потому что ему отвечают две пары - орёл-решка и решка-орёл. Из четырёх исходов два благоприятны, значит вероятность равна одной второй.
Правила и формулы
- Один бросок кости - 6 исходов, монеты - 2
- Два броска - исходы перемножаются
6 · 6 = 36 - Пары считают с учётом порядка
(1;3) и (3;1) - разные исходы - Сумма 7 на двух костях
P = 6/36 = 1/6 - Суммы 2 и 12 самые редкие
P = 1/36
Порядок действий
- Определите число исходов одного броска.
- Перемножьте, если бросков несколько.
- Выпишите благоприятные исходы парами, учитывая порядок.
- Сосчитайте их количество.
- Разделите на общее число исходов и сократите дробь.
Разбор примеров
- Всего исходов: 6 · 6 = 36.
- Пары с суммой 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).
- Их шесть.
- P = 6/36 = 1/6.
- Всего исходов: 2 · 2 = 4.
- Благоприятный один: орёл-орёл.
- P = 1/4.
- Всего 36 исходов.
- Сумму 12 даёт только пара (6;6).
- P = 1/36.
Где обычно ошибаются
- Не учитывают порядок и считают (1;3) и (3;1) одним исходом.
- Складывают число исходов вместо умножения при нескольких бросках.
- Считают все суммы на двух костях равновероятными.
Примеры с решением
- Подходят грани: 4, 5, 6 — их 3
- Всего граней 6
- P = 3/6 = 1/2
- Подходят грани: 3, 4, 5, 6 — их 4
- Всего граней 6
- P = 4/6 = 2/3
- Всего исходов: 6 · 6 = 36
- Подходящие пары: 3+6, 4+5, 5+4, 6+3 — их 4
- P = 4/36 = 1/9
- Всего исходов: 6
- Благоприятный исход один
- P = 1/6
- Делятся на 3: 3, 6 — их 2
- Всего граней 6
- P = 2/6 = 1/3
Подсказки, если не получается
- «Не меньше» — значит столько же или больше.
- Выпиши подходящие грани, начиная с 4.
- Раздели их число на 6.
Другие темы раздела «Вероятность»
Полная справка по разделу — на странице Вероятность.