Вероятность
Вероятность — числовая мера того, насколько событие правдоподобно. Она всегда от 0 до 1.
Содержание
- Классическая вероятностьНайти вероятность события.
- Монета и игральная костьВероятность в опытах с монетой и костью.
- Противоположное событиеНайти вероятность противоположного события.
- Правило умноженияСосчитать число вариантов по правилу умножения.
- Перестановки и факториалПерестановки, факториал и размещения.
- СочетанияСочетания: выбор без учёта порядка.
Классическая вероятность
Определения
- Вероятность события
- Отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.
- Благоприятный исход
- Исход опыта, при котором интересующее нас событие происходит.
- Равновозможные исходы
- Исходы, ни один из которых не имеет преимущества перед другими. Только для них применима классическая формула.
Объяснение
Классическое определение вероятности работает там, где все исходы равновозможны: правильная монета, симметричная кость, случайный выбор шара из мешка. Формула проста: число благоприятных исходов делим на число всех исходов.
Главная работа - правильно сосчитать оба числа. Общее число исходов - это сколько всего может случиться; благоприятных - сколько из них нас устраивает. Ошибки почти всегда в счёте, а не в делении.
В мешке 3 белых и 5 чёрных шаров. Всего исходов 8 - столько шаров можно вытащить. Благоприятных для белого шара 3. Вероятность равна 3/8.
Вероятность всегда лежит между нулём и единицей. Ноль означает невозможное событие, единица - достоверное. Если получилось больше единицы, значит благоприятных исходов насчитали больше, чем всех, - это верный признак ошибки.
Условие равновозможности существенно. Если шары разного размера и крупные попадаются чаще, классическая формула уже не годится. В школьных задачах равновозможность обычно предполагается по умолчанию, но проговорить её полезно.
Ответ принято записывать обыкновенной дробью в несократимом виде, либо десятичной, либо в процентах - в зависимости от того, что просит задача. Все три формы равноправны, и переход между ними обычный: доля умножается на сто, чтобы стать процентом.
Правила и формулы
- Классическая вероятность
P = m / n - m - благоприятные исходы, n - все исходы
- Вероятность лежит между нулём и единицей
0 ≤ P ≤ 1 - P = 0 - невозможное событие, P = 1 - достоверное
- Формула требует равновозможности исходов
Порядок действий
- Определите, в чём состоит опыт и какие у него исходы.
- Сосчитайте общее число равновозможных исходов.
- Сосчитайте, сколько из них благоприятны событию.
- Разделите второе на первое.
- Проверьте: результат обязан быть от нуля до единицы.
Разбор примеров
- Всего шаров: 3 + 5 = 8.
- Благоприятных: 3.
- P = 3/8.
- Всего исходов: 6.
- Чётные: 2, 4, 6 - три исхода.
- P = 3/6 = 1/2.
- Всего учеников: 25.
- Благоприятных: 10.
- P = 10/25 = 2/5.
Где обычно ошибаются
- Считают общее число исходов неверно - забывают часть предметов.
- Делят общее число на благоприятное вместо обратного.
- Получают вероятность больше единицы и не замечают ошибки.
Монета и игральная кость
Определения
- Игральная кость
- Кубик с гранями от 1 до 6. При одном броске шесть равновозможных исходов.
- Пространство исходов
- Перечень всех возможных результатов опыта. Для двух костей это 36 пар, для двух монет - 4 пары.
Объяснение
Монета и кость - стандартные примеры, на которых разбирают вероятность. Их удобство в том, что все исходы равновозможны и легко перечислимы.
Один бросок монеты даёт два исхода, один бросок кости - шесть. Вероятность любой конкретной грани равна 1/6, вероятность орла - 1/2.
Когда бросков два, число исходов перемножается. Две монеты дают 2 · 2 = 4 исхода, две кости - 6 · 6 = 36. Перечислять их надо парами, где важен порядок: выпадение 1 и 3 отличается от 3 и 1, хотя сумма одна и та же.
Именно это перечисление парами и вызывает больше всего ошибок. Для суммы 7 на двух костях благоприятны пары (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) - шесть пар, а не три. Вероятность равна 6/36 = 1/6.
Полезно помнить, что сумма 7 - самая вероятная при броске двух костей, а суммы 2 и 12 - самые редкие, у них по одной паре. Это можно использовать как проверку: подсчёт, дающий одинаковую вероятность для 7 и для 2, точно ошибочен, потому что семёрку даёт шесть пар, а двойку только одна.
Для монет тот же принцип: при двух бросках исход «один орёл и одна решка» вдвое вероятнее, чем «два орла», потому что ему отвечают две пары - орёл-решка и решка-орёл. Из четырёх исходов два благоприятны, значит вероятность равна одной второй.
Правила и формулы
- Один бросок кости - 6 исходов, монеты - 2
- Два броска - исходы перемножаются
6 · 6 = 36 - Пары считают с учётом порядка
(1;3) и (3;1) - разные исходы - Сумма 7 на двух костях
P = 6/36 = 1/6 - Суммы 2 и 12 самые редкие
P = 1/36
Порядок действий
- Определите число исходов одного броска.
- Перемножьте, если бросков несколько.
- Выпишите благоприятные исходы парами, учитывая порядок.
- Сосчитайте их количество.
- Разделите на общее число исходов и сократите дробь.
Разбор примеров
- Всего исходов: 6 · 6 = 36.
- Пары с суммой 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).
- Их шесть.
- P = 6/36 = 1/6.
- Всего исходов: 2 · 2 = 4.
- Благоприятный один: орёл-орёл.
- P = 1/4.
- Всего 36 исходов.
- Сумму 12 даёт только пара (6;6).
- P = 1/36.
Где обычно ошибаются
- Не учитывают порядок и считают (1;3) и (3;1) одним исходом.
- Складывают число исходов вместо умножения при нескольких бросках.
- Считают все суммы на двух костях равновероятными.
Противоположное событие
Определения
- Противоположное событие
- Событие, состоящее в том, что данное событие не произошло. Обозначается чертой сверху.
- Сумма вероятностей противоположных событий
- Всегда равна единице: либо событие произошло, либо нет, третьего не дано.
Объяснение
Противоположное событие - это «всё остальное». Если событие состоит в том, что выпал орёл, противоположное - что орёл не выпал, то есть выпала решка.
Вместе эти два события покрывают все возможные исходы и не пересекаются. Значит, сумма их вероятностей равна единице: что-то одно произойдёт обязательно, а оба сразу невозможны.
Отсюда формула: вероятность противоположного события равна единице минус вероятность исходного. Если вероятность события 0,3, то противоположного - 0,7.
Приём этот часто оказывается короче прямого счёта. Вопрос «какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет орёл при трёх бросках» требует перебора многих случаев. А противоположное событие всего одно - ни одного орла, то есть три решки. Его вероятность 1/8, значит искомая равна 1 − 1/8 = 7/8.
Слова «хотя бы один» - почти всегда сигнал перейти к противоположному событию. Прямой перебор в таких задачах длинный, а противоположное событие обычно единственное и считается сразу. То же относится к формулировке «ни одного» - она тоже указывает на переход.
Проверять полезно тем же тождеством: сложите вероятность события и противоположного, обязана получиться единица. Если сумма другая, ошибка в одном из подсчётов, и пересчитывать надо оба, а не только тот, что выглядит подозрительно.
Правила и формулы
- Сумма вероятностей противоположных событий
P(A) + P(не A) = 1 - Вероятность противоположного
P(не A) = 1 − P(A) - Пример
если P = 0,3, то противоположное 0,7 - Слова «хотя бы один» - сигнал перейти к противоположному
- Проверка: сумма вероятностей обязана дать единицу
Порядок действий
- Сформулируйте, в чём состоит противоположное событие.
- Решите, что считать проще: исходное или противоположное.
- Найдите вероятность более простого события.
- Вычтите её из единицы, если нужно другое.
- Проверьте: сумма двух вероятностей обязана дать единицу.
Разбор примеров
- Формула: P(не A) = 1 − P(A).
- 1 − 0,3 = 0,7.
- Промах - противоположное событие.
- 1 − 0,8 = 0,2.
- Противоположное: ни одного орла, то есть две решки.
- Его вероятность: 1/4.
- 1 − 1/4 = 3/4.
Где обычно ошибаются
- Вычитают вероятность из ста вместо единицы, работая с долями.
- Неверно формулируют противоположное событие: для «хотя бы один» берут «ровно один».
- Забывают, что сумма вероятностей обязана дать ровно единицу.
Правило умножения
Определения
- Правило умножения
- Если первый выбор можно сделать m способами, а второй независимо от него n способами, то вся пара выбирается m · n способами.
Объяснение
Правило умножения - основа всей комбинаторики. Оно отвечает на вопрос, сколько всего вариантов даёт последовательность независимых выборов.
Формулировка проста: если на первом шаге m возможностей, а на втором n, то вместе получается m · n вариантов. Для трёх и более шагов числа перемножаются дальше.
Понять правило проще всего на таблице. Если есть 3 рубашки и 4 брюк, то каждой рубашке можно сопоставить любые из четырёх брюк. Получается таблица 3 на 4, в которой 12 клеток - это и есть число вариантов.
Ключевое слово - «независимо». Правило работает, когда выбор на втором шаге не зависит от того, что выбрали на первом. Если после первого выбора часть вариантов пропадает, число возможностей на втором шаге меняется, и это надо учитывать.
Пример с зависимым выбором: сколько двузначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3. Первую цифру выбираем тремя способами, но вторую - уже только двумя, потому что повторять нельзя. Итого 3 · 2 = 6.
Различать эти случаи надо по условию: слова «можно повторять» дают одинаковое число вариантов на каждом шаге, слова «все разные» уменьшают его на единицу с каждым шагом. Прочитать условие внимательно тут важнее, чем правильно перемножить.
Правила и формулы
- Правило умножения
N = m · n - Для нескольких шагов числа перемножаются
N = n₁ · n₂ · n₃ - Пример
3 рубашки и 4 брюк дают 12 комплектов - При выборе без повторений число вариантов убывает
3 · 2 = 6 - Правило требует независимости выборов
Порядок действий
- Разбейте выбор на последовательные шаги.
- Сосчитайте число возможностей на первом шаге.
- Определите, зависит ли второй шаг от первого.
- Сосчитайте возможности на каждом следующем шаге.
- Перемножьте все полученные числа.
Разбор примеров
- Первый выбор: 3 способа.
- Второй выбор: 4 способа, независимо от первого.
- 3 · 4 = 12.
- Первая цифра: 3 способа.
- Вторая цифра тоже 3, повторять можно.
- 3 · 3 = 9.
- Первая цифра: 3 способа.
- Вторая: остаётся 2 варианта.
- 3 · 2 = 6.
Где обычно ошибаются
- Складывают числа вариантов вместо умножения.
- Не замечают, что выбор зависимый, и берут одинаковое число на всех шагах.
- Пропускают один из шагов выбора.
Перестановки и факториал
Определения
- Факториал
- Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
- Перестановка
- Способ расставить n различных предметов в ряд. Число перестановок равно n!.
- Размещение
- Выбор k предметов из n с учётом порядка. Число размещений равно n · (n−1) · … · (n−k+1).
Объяснение
Перестановки отвечают на вопрос: сколькими способами можно расставить в ряд n различных предметов. Ответ даёт правило умножения: на первое место есть n кандидатов, на второе остаётся n − 1, дальше n − 2 и так до единицы.
Произведение всех этих чисел и называют факториалом: n! = n · (n−1) · … · 2 · 1. Для пяти предметов получается 5! = 120 перестановок.
Факториал растёт очень быстро. Уже 10! больше трёх миллионов, а 20! - число из девятнадцати цифр. Поэтому в задачах перестановки обычно считают для небольших n, а большие оставляют в записи факториала.
По договорённости 0! = 1. Это не произвол: пустой ряд можно составить ровно одним способом - не поставить ничего. Такое соглашение делает формулы комбинаторики единообразными.
Размещения - это перестановки не всех предметов, а только выбранной части. Если из 5 предметов надо выбрать 3 и расставить по порядку, получаем 5 · 4 · 3 = 60 способов. Множителей ровно столько, сколько мест.
Отличие размещений от сочетаний - в учёте порядка. Если важно, кто занял первое место, а кто второе, это размещения. Если важен только состав группы, порядок не считается, и это уже сочетания - их всегда меньше, потому что каждая группа посчитана в размещениях по нескольку раз.
Правила и формулы
- Факториал
n! = n · (n−1) · … · 2 · 1 - Число перестановок
Pₙ = n! - По договорённости
0! = 1 - Размещения из n по k
A = n · (n−1) · … · (n−k+1) - В размещениях порядок важен
Порядок действий
- Определите, все ли предметы расставляются или только часть.
- Для всех предметов посчитайте факториал.
- Для части выпишите столько убывающих множителей, сколько мест.
- Перемножьте.
- Проверьте, важен ли порядок - иначе нужны сочетания.
Разбор примеров
- Все предметы расставляются - это перестановки.
- 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5.
- Получается 120.
- Порядок важен - это размещения.
- На первое место 5 кандидатов, на второе 4, на третье 3.
- 5 · 4 · 3 = 60.
- 1 · 2 = 2.
- 2 · 3 = 6.
- 6 · 4 = 24.
Где обычно ошибаются
- Считают 0! равным нулю.
- В размещениях берут все n множителей вместо k.
- Применяют перестановки там, где порядок не важен.
Сочетания
Определения
- Сочетание
- Выбор k предметов из n без учёта порядка. Важен только состав группы, а не расположение внутри неё.
- Формула сочетаний
- Число сочетаний из n по k равно C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Деление на k! убирает перестановки внутри выбранной группы.
Объяснение
Сочетания отвечают на вопрос: сколькими способами можно выбрать группу из k предметов среди n, если порядок внутри группы не важен. Выбрать команду из трёх человек - это сочетание; расставить их по местам - уже размещение.
Формула получается из размещений делением на лишние перестановки. Размещений из 5 по 3 будет 60, но каждая тройка при этом посчитана 3! = 6 раз - по разу на каждый порядок внутри. Значит сочетаний в шесть раз меньше: 60 : 6 = 10.
Отсюда общая формула: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Делить на k! нужно ровно затем, чтобы убрать перестановки внутри выбранной группы.
Считать по формуле напрямую неудобно из-за больших факториалов. На практике сокращают: C(5,3) = (5 · 4 · 3)/(1 · 2 · 3) = 10. В числителе столько убывающих множителей, сколько выбираем, в знаменателе - факториал этого же числа.
Полезное свойство: C(n, k) = C(n, n−k). Выбрать три предмета из пяти - то же самое, что оставить два. Это часто сокращает вычисления: вместо C(10, 8) считают C(10, 2).
Главный вопрос при решении - важен ли порядок. Если в условии есть слова «первое и второе место», «капитан и заместитель», порядок важен и нужны размещения. Если «выбрать команду», «взять три книги» - порядок не важен, это сочетания.
Правила и формулы
- Формула сочетаний
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) - Удобная форма для счёта
C(5,3) = (5 · 4 · 3)/(1 · 2 · 3) = 10 - Свойство симметрии
C(n, k) = C(n, n − k) - В сочетаниях порядок не важен
- Сочетаний всегда меньше, чем размещений
Порядок действий
- Определите, важен ли порядок выбора.
- Если не важен, применяйте сочетания.
- Запишите в числителе k убывающих множителей начиная с n.
- В знаменателе запишите k!.
- Сократите и посчитайте.
Разбор примеров
- Порядок не важен - это сочетания.
- Числитель: 5 · 4 · 3 = 60.
- Знаменатель: 3! = 6.
- 60 : 6 = 10.
- Числитель: 6 · 5 = 30.
- Знаменатель: 2! = 2.
- 30 : 2 = 15.
- По свойству симметрии это то же, что C(10, 2).
- Числитель: 10 · 9 = 90.
- Знаменатель: 2.
- 90 : 2 = 45.
Где обычно ошибаются
- Применяют сочетания там, где важен порядок.
- Забывают разделить на k! и получают число размещений.
- Берут в числителе все n множителей вместо k.
Пример с решением
- Всего исходов: 8 + 7 + 3 = 18
- Благоприятных исходов: 8
- P = 8/18
- Сокращаем: 8/18 = 4/9
- Всего исходов: 7 + 9 + 3 = 19
- Благоприятных исходов: 3
- P = 3/19
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.