Сочетания: как решать

Сочетания: выбор без учёта порядка.

Определения

Сочетание: Выбор k предметов из n без учёта порядка. Важен только состав группы, а не расположение внутри неё.
Формула сочетаний: Число сочетаний из n по k равно C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Деление на k! убирает перестановки внутри выбранной группы.

Объяснение

Сочетания отвечают на вопрос: сколькими способами можно выбрать группу из k предметов среди n, если порядок внутри группы не важен. Выбрать команду из трёх человек - это сочетание; расставить их по местам - уже размещение.

Формула получается из размещений делением на лишние перестановки. Размещений из 5 по 3 будет 60, но каждая тройка при этом посчитана 3! = 6 раз - по разу на каждый порядок внутри. Значит сочетаний в шесть раз меньше: 60 : 6 = 10.

Отсюда общая формула: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Делить на k! нужно ровно затем, чтобы убрать перестановки внутри выбранной группы.

Считать по формуле напрямую неудобно из-за больших факториалов. На практике сокращают: C(5,3) = (5 · 4 · 3)/(1 · 2 · 3) = 10. В числителе столько убывающих множителей, сколько выбираем, в знаменателе - факториал этого же числа.

Полезное свойство: C(n, k) = C(n, n−k). Выбрать три предмета из пяти - то же самое, что оставить два. Это часто сокращает вычисления: вместо C(10, 8) считают C(10, 2).

Главный вопрос при решении - важен ли порядок. Если в условии есть слова «первое и второе место», «капитан и заместитель», порядок важен и нужны размещения. Если «выбрать команду», «взять три книги» - порядок не важен, это сочетания.

Правила и формулы

Формула сочетанийC(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Удобная форма для счётаC(5,3) = (5 · 4 · 3)/(1 · 2 · 3) = 10
Свойство симметрииC(n, k) = C(n, n − k)
В сочетаниях порядок не важен
Сочетаний всегда меньше, чем размещений

Порядок действий

Определите, важен ли порядок выбора.
Если не важен, применяйте сочетания.
Запишите в числителе k убывающих множителей начиная с n.
В знаменателе запишите k!.
Сократите и посчитайте.

Разбор примеров

Сколькими способами выбрать 3 человек из 5?

Порядок не важен - это сочетания.
Числитель: 5 · 4 · 3 = 60.
Знаменатель: 3! = 6.
60 : 6 = 10.

Ответ: 10

Сколькими способами выбрать 2 книги из 6?

Числитель: 6 · 5 = 30.
Знаменатель: 2! = 2.
30 : 2 = 15.

Ответ: 15

Вычислить C(10, 8)

По свойству симметрии это то же, что C(10, 2).
Числитель: 10 · 9 = 90.
Знаменатель: 2.
90 : 2 = 45.

Ответ: 45

Где обычно ошибаются

Применяют сочетания там, где важен порядок.
Забывают разделить на k! и получают число размещений.
Берут в числителе все n множителей вместо k.

Примеры с решением

1. Из 4 книг надо выбрать 2. Сколькими способами это можно сделать, если порядок выбора не важен?

C(4, 2) = 4! : (2! · 2!)
= 24 : (2 · 2)
= 6

Ответ: 6

2. Из 5 цветов надо выбрать 2. Сколькими способами это можно сделать, если порядок выбора не важен?

C(5, 2) = 5! : (2! · 3!)
= 120 : (2 · 6)
= 10

Ответ: 10

3. Из 8 учеников класса надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать, если порядок выбора не важен?

C(8, 3) = 8! : (3! · 5!)
= 40320 : (6 · 120)
= 56

Ответ: 56

4. Из 7 игроков команды надо выбрать 2. Сколькими способами это можно сделать, если порядок выбора не важен?

C(7, 2) = 7! : (2! · 5!)
= 5040 : (2 · 120)
= 21

Ответ: 21

5. Из 7 учеников класса надо выбрать 2. Сколькими способами это можно сделать, если порядок выбора не важен?

C(7, 2) = 7! : (2! · 5!)
= 5040 : (2 · 120)
= 21

Ответ: 21

Подсказки, если не получается

Порядок не важен — значит это сочетания, а не перестановки.
C(n, k) = n! : (k! · (n − k)!)
Подставь n = 4, k = 2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Вероятность»

Полная справка по разделу — на странице Вероятность.