Правило умножения: как решать

Сосчитать число вариантов по правилу умножения.

Определения

Правило умножения: Если первый выбор можно сделать m способами, а второй независимо от него n способами, то вся пара выбирается m · n способами.

Объяснение

Правило умножения - основа всей комбинаторики. Оно отвечает на вопрос, сколько всего вариантов даёт последовательность независимых выборов.

Формулировка проста: если на первом шаге m возможностей, а на втором n, то вместе получается m · n вариантов. Для трёх и более шагов числа перемножаются дальше.

Понять правило проще всего на таблице. Если есть 3 рубашки и 4 брюк, то каждой рубашке можно сопоставить любые из четырёх брюк. Получается таблица 3 на 4, в которой 12 клеток - это и есть число вариантов.

Ключевое слово - «независимо». Правило работает, когда выбор на втором шаге не зависит от того, что выбрали на первом. Если после первого выбора часть вариантов пропадает, число возможностей на втором шаге меняется, и это надо учитывать.

Пример с зависимым выбором: сколько двузначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3. Первую цифру выбираем тремя способами, но вторую - уже только двумя, потому что повторять нельзя. Итого 3 · 2 = 6.

Различать эти случаи надо по условию: слова «можно повторять» дают одинаковое число вариантов на каждом шаге, слова «все разные» уменьшают его на единицу с каждым шагом. Прочитать условие внимательно тут важнее, чем правильно перемножить.

Правила и формулы

Правило умноженияN = m · n
Для нескольких шагов числа перемножаютсяN = n₁ · n₂ · n₃
Пример3 рубашки и 4 брюк дают 12 комплектов
При выборе без повторений число вариантов убывает3 · 2 = 6
Правило требует независимости выборов

Порядок действий

Разбейте выбор на последовательные шаги.
Сосчитайте число возможностей на первом шаге.
Определите, зависит ли второй шаг от первого.
Сосчитайте возможности на каждом следующем шаге.
Перемножьте все полученные числа.

Разбор примеров

Сколько комплектов из 3 рубашек и 4 брюк?

Первый выбор: 3 способа.
Второй выбор: 4 способа, независимо от первого.
3 · 4 = 12.

Ответ: 12

Сколько двузначных чисел из цифр 1, 2, 3 с повторениями?

Первая цифра: 3 способа.
Вторая цифра тоже 3, повторять можно.
3 · 3 = 9.

Ответ: 9

То же, но цифры разные

Первая цифра: 3 способа.
Вторая: остаётся 2 варианта.
3 · 2 = 6.

Ответ: 6

Где обычно ошибаются

Складывают числа вариантов вместо умножения.
Не замечают, что выбор зависимый, и берут одинаковое число на всех шагах.
Пропускают один из шагов выбора.

Примеры с решением

1. В кафе 4 вида супа и 2 вида второго блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из супа и второго?

Суп можно выбрать 4 способами
Второе — 2 способами
4 · 2 = 8

Ответ: 8

2. В гардеробе 2 рубашки, 6 пар брюк и 3 пары обуви. Сколько разных комплектов можно составить?

2 · 6 · 3 = 36

Ответ: 36

3. В гардеробе 5 рубашек, 3 пары брюк и 3 пары обуви. Сколько разных комплектов можно составить?

5 · 3 · 3 = 45

Ответ: 45

4. В кафе 5 видов супа и 5 видов второго блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из супа и второго?

Суп можно выбрать 5 способами
Второе — 5 способами
5 · 5 = 25

Ответ: 25

5. В кафе 6 видов супа и 2 вида второго блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из супа и второго?

Суп можно выбрать 6 способами
Второе — 2 способами
6 · 2 = 12

Ответ: 12

Подсказки, если не получается

К каждому супу подходит любое второе блюдо.
Значит способы надо перемножить.
4 · 2 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Вероятность»

Полная справка по разделу — на странице Вероятность.