Противоположное событие: как решать

Найти вероятность противоположного события.

Определения

Противоположное событие: Событие, состоящее в том, что данное событие не произошло. Обозначается чертой сверху.
Сумма вероятностей противоположных событий: Всегда равна единице: либо событие произошло, либо нет, третьего не дано.

Объяснение

Противоположное событие - это «всё остальное». Если событие состоит в том, что выпал орёл, противоположное - что орёл не выпал, то есть выпала решка.

Вместе эти два события покрывают все возможные исходы и не пересекаются. Значит, сумма их вероятностей равна единице: что-то одно произойдёт обязательно, а оба сразу невозможны.

Отсюда формула: вероятность противоположного события равна единице минус вероятность исходного. Если вероятность события 0,3, то противоположного - 0,7.

Приём этот часто оказывается короче прямого счёта. Вопрос «какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет орёл при трёх бросках» требует перебора многих случаев. А противоположное событие всего одно - ни одного орла, то есть три решки. Его вероятность 1/8, значит искомая равна 1 − 1/8 = 7/8.

Слова «хотя бы один» - почти всегда сигнал перейти к противоположному событию. Прямой перебор в таких задачах длинный, а противоположное событие обычно единственное и считается сразу. То же относится к формулировке «ни одного» - она тоже указывает на переход.

Проверять полезно тем же тождеством: сложите вероятность события и противоположного, обязана получиться единица. Если сумма другая, ошибка в одном из подсчётов, и пересчитывать надо оба, а не только тот, что выглядит подозрительно.

Правила и формулы

Сумма вероятностей противоположных событийP(A) + P(не A) = 1
Вероятность противоположногоP(не A) = 1 − P(A)
Примересли P = 0,3, то противоположное 0,7
Слова «хотя бы один» - сигнал перейти к противоположному
Проверка: сумма вероятностей обязана дать единицу

Порядок действий

Сформулируйте, в чём состоит противоположное событие.
Решите, что считать проще: исходное или противоположное.
Найдите вероятность более простого события.
Вычтите её из единицы, если нужно другое.
Проверьте: сумма двух вероятностей обязана дать единицу.

Разбор примеров

Вероятность события 0,3. Найти вероятность противоположного.

Формула: P(не A) = 1 − P(A).
1 − 0,3 = 0,7.

Ответ: 0,7

Вероятность попадания 0,8. Найти вероятность промаха.

Промах - противоположное событие.
1 − 0,8 = 0,2.

Ответ: 0,2

Вероятность хотя бы одного орла при двух бросках

Противоположное: ни одного орла, то есть две решки.
Его вероятность: 1/4.
1 − 1/4 = 3/4.

Ответ: 3/4

Где обычно ошибаются

Вычитают вероятность из ста вместо единицы, работая с долями.
Неверно формулируют противоположное событие: для «хотя бы один» берут «ровно один».
Забывают, что сумма вероятностей обязана дать ровно единицу.

Примеры с решением

1. Вероятность того, что автобус придёт вовремя, равна 0,8. Найдите вероятность противоположного события.

P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 − 0,8 = 0,2

Ответ: 0.2

2. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень, равна 0,2. Найдите вероятность противоположного события.

P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 − 0,2 = 0,8

Ответ: 0.8

3. Вероятность того, что семя прорастёт, равна 0,15. Найдите вероятность противоположного события.

P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 − 0,15 = 0,85

Ответ: 0.85

4. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень, равна 0,1. Найдите вероятность противоположного события.

P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 − 0,1 = 0,9

Ответ: 0.9

5. Вероятность того, что семя прорастёт, равна 0,6. Найдите вероятность противоположного события.

P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 − 0,6 = 0,4

Ответ: 0.4

Подсказки, если не получается

Событие либо произойдёт, либо нет — третьего не дано.
Сумма их вероятностей всегда равна 1.
Вычти 0,8 из единицы.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Вероятность»

Полная справка по разделу — на странице Вероятность.