Производная произведения: как решать

Найти производную произведения.

Определения

Правило произведения: Производная произведения двух функций равна производной первой на вторую плюс первая на производную второй.

Объяснение

Производная произведения не равна произведению производных - это первое, что нужно усвоить. Ошибка настолько естественна, что её делают почти все, кто не разобрался в правиле.

Правильная формула: производная произведения равна производной первого множителя на второй плюс первый множитель на производную второго. Записывают её как (uv)′ = u′v + uv′.

Смысл в том, что произведение меняется по двум причинам сразу: из-за изменения первого множителя и из-за изменения второго. Каждая причина даёт своё слагаемое, а вместе они дают полное изменение.

Проверить формулу легко на простом примере. Возьмём u = x и v = x. Их произведение x², производная 2x. По формуле: 1 · x + x · 1 = 2x - сходится. А произведение производных дало бы 1, что неверно.

Разберём: производная от x² · sin x. Первый множитель даёт 2x, второй остаётся sin x; первый остаётся x², второй даёт cos x. Итого 2x sin x + x² cos x.

Порядок множителей значения не имеет - сложение коммутативно. Но записывать оба слагаемых обязательно; потеря одного из них - самая частая ошибка после попытки перемножить производные.

Для трёх множителей правило продолжается: слагаемых становится три, в каждом дифференцируется по одному множителю. Но в школьных и первокурсных задачах обычно хватает двух.

Правила и формулы

Правило произведения(uv)' = u'v + uv'
Производная произведения не равна произведению производных
Проверка на примере(x · x)' = 1 · x + x · 1 = 2x
Постоянный множитель просто выносится(k·u)' = k·u'
Для трёх множителей слагаемых становится три

Порядок действий

Обозначьте множители как u и v.
Найдите производную каждого по отдельности.
Запишите первое слагаемое: производная первого на второй.
Запишите второе слагаемое: первый на производную второго.
Сложите и при необходимости упростите.

Разбор примеров

Производная x² · sin x

u = x², u' = 2x.
v = sin x, v' = cos x.
Первое слагаемое: 2x · sin x.
Второе: x² · cos x.

Ответ: 2x sin x + x² cos x

Производная x · eˣ

u = x, u' = 1.
v = eˣ, v' = eˣ.
1 · eˣ + x · eˣ.

Ответ: eˣ(1 + x)

Производная 3x · cos x

u = 3x, u' = 3.
v = cos x, v' = −sin x.
3 cos x − 3x sin x.

Ответ: 3 cos x − 3x sin x

Где обычно ошибаются

Перемножают производные множителей.
Записывают только одно слагаемое из двух.
Забывают минус в производной косинуса.

Примеры с решением

1. Дана функция f(x) = (5x + 9)(x + 3). Найдите f′(2).

u = 5x + 9, u′ = 5; v = x + 3, v′ = 1
f′(x) = 5(x + 3) + 1(5x + 9)
f′(2) = 5 · 5 + 1 · 19 = 44

Ответ: 44

2. Дана функция f(x) = (5x + 5)(x + 7). Найдите f′(3).

u = 5x + 5, u′ = 5; v = x + 7, v′ = 1
f′(x) = 5(x + 7) + 1(5x + 5)
f′(3) = 5 · 10 + 1 · 20 = 70

Ответ: 70

3. Дана функция f(x) = (3x + 6)(x + 3). Найдите f′(1).

u = 3x + 6, u′ = 3; v = x + 3, v′ = 1
f′(x) = 3(x + 3) + 1(3x + 6)
f′(1) = 3 · 4 + 1 · 9 = 21

Ответ: 21

4. Дана функция f(x) = (5x + 1)(2x + 8). Найдите f′(4).

u = 5x + 1, u′ = 5; v = 2x + 8, v′ = 2
f′(x) = 5(2x + 8) + 2(5x + 1)
f′(4) = 5 · 16 + 2 · 21 = 122

Ответ: 122

5. Дана функция f(x) = (2x + 8)(4x + 9). Найдите f′(5).

u = 2x + 8, u′ = 2; v = 4x + 9, v′ = 4
f′(x) = 2(4x + 9) + 4(2x + 8)
f′(5) = 2 · 29 + 4 · 18 = 130

Ответ: 130

Подсказки, если не получается

Раскрывать скобки не обязательно — есть правило произведения.
(uv)′ = u′v + uv′
Подставьте x = 2 после дифференцирования.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Производная и интеграл»

Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.