Площадь криволинейной трапеции: как решать

Найти площадь криволинейной трапеции.

Определения

Криволинейная трапеция: Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми.

Объяснение

Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу от функции по соответствующему отрезку. Это главное геометрическое приложение интеграла.

Условие неотрицательности функции существенно. Интеграл считает площадь со знаком: там, где график ниже оси, вклад отрицательный. Поэтому для функции, меняющей знак, интеграл даёт не площадь, а разность площадей.

Если функция на отрезке отрицательна, площадь равна интегралу, взятому со знаком минус, или интегралу от модуля функции. Разбивать отрезок по точкам пересечения с осью приходится всегда, когда знак меняется.

Разберём: площадь под параболой y = x² от 0 до 3. Функция неотрицательна, значит площадь равна интегралу: первообразная x³/3, разность 9 − 0 = 9.

Для площади между двумя кривыми интегрируют разность функций: из верхней вычитают нижнюю. Порядок важен - иначе площадь получится отрицательной.

Пределы интегрирования часто не даны напрямую, а определяются точками пересечения графиков. Тогда первым делом решают уравнение f(x) = g(x) и находят границы.

Проверять полезно прикидкой по чертежу: набросайте график и оцените площадь как площадь прямоугольника или треугольника примерно тех же размеров. Ответ, отличающийся в разы, требует перепроверки.

Правила и формулы

Площадь под графикомS = ∫ от a до b f(x) dx при f ≥ 0
Для отрицательной функции берут интеграл со знаком минус
Площадь между кривымиS = ∫ (верхняя − нижняя) dx
При смене знака отрезок разбивают
Пределы находят из уравнения пересечения

Порядок действий

Нарисуйте фигуру и определите границы.
Если пределы не даны, найдите их из уравнения пересечения.
Проверьте знак функции на отрезке.
Составьте интеграл, при необходимости разбив отрезок.
Вычислите и сверьте с прикидкой по чертежу.

Разбор примеров

Площадь под y = x² от 0 до 3

Функция неотрицательна.
Первообразная: x³/3.
27/3 − 0 = 9.

Ответ: 9

Площадь под y = 2x от 1 до 4

Первообразная: x².
16 − 1 = 15.

Ответ: 15

Площадь под y = x от 0 до 2

Первообразная: x²/2.
4/2 − 0 = 2.
Проверка: это треугольник с катетами 2 и 2.

Ответ: 2

Где обычно ошибаются

Считают интеграл площадью там, где функция отрицательна.
В площади между кривыми вычитают верхнюю из нижней.
Не находят пределы интегрирования, когда они не даны явно.

Примеры с решением

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 15x², осью абсцисс и прямыми x = 2 и x = 4.

S = интеграл 15x² от 2 до 4
F(x) = 5x³
S = 320 − 40 = 280

Ответ: 280

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 15x², осью абсцисс и прямыми x = 1 и x = 3.

S = интеграл 15x² от 1 до 3
F(x) = 5x³
S = 135 − 5 = 130

Ответ: 130

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 6x², осью абсцисс и прямыми x = 2 и x = 4.

S = интеграл 6x² от 2 до 4
F(x) = 2x³
S = 128 − 16 = 112

Ответ: 112

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 3x, осью абсцисс и прямыми x = 1 и x = 3.

S = интеграл 3x от 1 до 3
F(x) = 1,5x²
S = 13,5 − 1,5 = 12

Ответ: 12

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 3x², осью абсцисс и прямыми x = 2 и x = 4.

S = интеграл 3x² от 2 до 4
F(x) = x³
S = 64 − 8 = 56

Ответ: 56

Подсказки, если не получается

Это геометрический смысл определённого интеграла.
Первообразная для 15x² равна 5x³.
Подставьте оба предела и вычтите.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Производная и интеграл»

Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.