Определённый интеграл: как решать

Вычислить определённый интеграл.

Определения

Первообразная: Функция, производная которой равна подынтегральной функции.
Формула Ньютона-Лейбница: Определённый интеграл равен разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.

Объяснение

Определённый интеграл вычисляют в два шага: находят первообразную и берут разность её значений на концах отрезка. Второй шаг механический, вся работа в первом.

Первообразную находят обращением таблицы производных. Для степенной функции показатель увеличивается на единицу, и на новый показатель делят: первообразная от xⁿ равна x^(n+1)/(n+1). Проверить можно дифференцированием обратно.

Исключение - функция 1/x, для которой это правило не работает: нулевой знаменатель. Её первообразная равна натуральному логарифму модуля x.

Первообразные основных функций: для синуса это минус косинус, для косинуса синус, для экспоненты она сама. Знаки здесь легко перепутать, поэтому проверка дифференцированием не лишняя.

Формула Ньютона-Лейбница: интеграл равен F(b) − F(a). Порядок обязателен: из верхнего предела вычитают нижний. Перестановка меняет знак ответа.

Разберём интеграл от x² на отрезке от 0 до 3. Первообразная x³/3. В верхнем пределе 27/3 = 9, в нижнем 0. Ответ 9.

Постоянная интегрирования в определённом интеграле не нужна: она сокращается при вычитании, поэтому её можно не писать вовсе.

Если под интегралом стоит сумма, её интегрируют по слагаемым: интеграл суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель, как и при дифференцировании, выносится за знак интеграла.

Правила и формулы

Формула Ньютона-Лейбница∫ от a до b f dx = F(b) − F(a)
Первообразная степенной функцииx^(n+1)/(n+1)
Особый случай∫ dx/x = ln|x|
Первообразные тригонометрическихsin → −cos, cos → sin
Постоянная интегрирования сокращается

Порядок действий

Найдите первообразную подынтегральной функции.
Проверьте её дифференцированием.
Подставьте верхний предел.
Подставьте нижний предел.
Вычтите второе значение из первого.

Разбор примеров

Интеграл от x² на отрезке [0; 3]

Первообразная: x³/3.
В верхнем: 27/3 = 9.
В нижнем: 0.
Разность 9.

Ответ: 9

Интеграл от 2x на отрезке [1; 4]

Первообразная: x².
16 − 1 = 15.

Ответ: 15

Интеграл от cos x на отрезке [0; π/2]

Первообразная: sin x.
sin(π/2) = 1, sin 0 = 0.
Разность 1.

Ответ: 1

Где обычно ошибаются

Вычитают в обратном порядке.
В первообразной степенной функции не делят на новый показатель.
Теряют знак в первообразной синуса.

Примеры с решением

1. Вычислите определённый интеграл функции 12x³ + 1 на отрезке от 2 до 5.

F(x) = 3x⁴ + x
F(5) = 1880, F(2) = 50
Интеграл = 1880 − 50 = 1830

Ответ: 1830

2. Вычислите определённый интеграл функции 6x² на отрезке от 2 до 3.

F(x) = 2x³
F(3) = 54, F(2) = 16
Интеграл = 54 − 16 = 38

Ответ: 38

3. Вычислите определённый интеграл функции 8x³ + 5 на отрезке от 0 до 1.

F(x) = 2x⁴ + 5x
F(1) = 7, F(0) = 0
Интеграл = 7 − 0 = 7

Ответ: 7

4. Вычислите определённый интеграл функции 12x² на отрезке от 0 до 2.

F(x) = 4x³
F(2) = 32, F(0) = 0
Интеграл = 32 − 0 = 32

Ответ: 32

5. Вычислите определённый интеграл функции 8x³ + 3 на отрезке от 1 до 4.

F(x) = 2x⁴ + 3x
F(4) = 524, F(1) = 5
Интеграл = 524 − 5 = 519

Ответ: 519

Подсказки, если не получается

Найдите любую первообразную подынтегральной функции.
Показатель растёт на единицу, коэффициент делится на новый показатель.
Подставьте пределы и вычтите.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Производная и интеграл»

Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.