Частные производные: как решать

Найти частную производную.

Определения

Функция нескольких переменных: Функция, значение которой зависит от двух и более аргументов: z = x²y + 3y.
Частная производная: Производная по одной переменной при условии, что остальные считаются постоянными.

Объяснение

Когда функция зависит от нескольких переменных, спрашивать просто «производную» бессмысленно: надо указать, по какой переменной дифференцируем. Отсюда и название - частная производная.

Правило простое: дифференцируем по указанной переменной, а все остальные считаем числами. Никаких новых приёмов не требуется, работают все обычные правила дифференцирования.

Разберём z = x²y + 3y. Частная производная по x: слагаемое x²y даёт 2xy, потому что y - постоянный множитель; слагаемое 3y не содержит x и потому даёт ноль. Итого 2xy.

Частная производная по y для той же функции: x²y даёт x², потому что теперь постоянным множителем считается x²; слагаемое 3y даёт 3. Итого x² + 3.

Обратите внимание, как меняется роль переменных: одна и та же буква в первом случае была множителем-константой, во втором - переменной дифференцирования. Держать это в голове важнее любых формул.

Обозначают частные производные значком с закруглённой d либо индексом. Смысл записи один: указано, по какой переменной дифференцируем.

Проверять полезно подстановкой: зафиксируйте вторую переменную числом, и функция превратится в обычную функцию одной переменной, производную которой легко проверить.

Частных производных у функции двух переменных две, у функции трёх - три. Вместе они образуют градиент - вектор, показывающий направление наибыстрейшего роста функции.

Правила и формулы

Дифференцируем по одной переменной, остальные считаем константами
Пример по xz = x²y + 3y → ∂z/∂x = 2xy
Пример по yz = x²y + 3y → ∂z/∂y = x² + 3
Слагаемое без нужной переменной даёт ноль
Все обычные правила дифференцирования сохраняются

Порядок действий

Определите, по какой переменной дифференцируете.
Мысленно замените остальные переменные числами.
Продифференцируйте каждое слагаемое обычным способом.
Слагаемые без нужной переменной обратите в ноль.
Проверьте, зафиксировав вторую переменную конкретным числом.

Разбор примеров

z = x²y + 3y, найти производную по x

Считаем y константой.
x²y даёт 2xy.
3y не содержит x и даёт ноль.

Ответ: 2xy

Та же функция, производная по y

Считаем x константой.
x²y даёт x².
3y даёт 3.

Ответ: x² + 3

z = 5x + y², найти производную по x

5x даёт 5.
y² не содержит x и даёт ноль.

Ответ: 5

Где обычно ошибаются

Дифференцируют по обеим переменным сразу.
Обращают в ноль слагаемое, которое содержит нужную переменную множителем.
Забывают, что вторая переменная остаётся в ответе как константа.

Примеры с решением

1. Дана функция z = 2x² + 3y² + 2xy. Найдите частную производную по y в точке (5; 4).

z′ᵧ = 6y + 2x
z′ᵧ(5; 4) = 6 · 4 + 2 · 5
= 34

Ответ: 34

2. Дана функция z = x² + y² + xy. Найдите частную производную по y в точке (3; 5).

z′ᵧ = 2y + x
z′ᵧ(3; 5) = 2 · 5 + 1 · 3
= 13

Ответ: 13

3. Дана функция z = 4x² + 2y² + 5xy. Найдите частную производную по x в точке (5; 1).

z′ₓ = 8x + 5y
z′ₓ(5; 1) = 8 · 5 + 5 · 1
= 45

Ответ: 45

4. Дана функция z = 3x² + 5y² + 2xy. Найдите частную производную по x в точке (1; 1).

z′ₓ = 6x + 2y
z′ₓ(1; 1) = 6 · 1 + 2 · 1
= 8

Ответ: 8

5. Дана функция z = x² + 2y² + xy. Найдите частную производную по x в точке (4; 1).

z′ₓ = 2x + y
z′ₓ(4; 1) = 2 · 4 + 1 · 1
= 9

Ответ: 9

Подсказки, если не получается

Дифференцируем по y, а x считаем числом.
Слагаемое с x² при этом обращается в нуль.
Подставьте координаты точки.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Производная и интеграл»

Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.