Дифференциал функции: как решать

Найти дифференциал функции.

Определения

Дифференциал: Главная часть приращения функции, равная производной, умноженной на приращение аргумента: dy = f′(x) dx.

Объяснение

Дифференциал - это оценка изменения функции при малом изменении аргумента. Если аргумент изменился на dx, то функция изменится примерно на f′(x)·dx.

Основание такое: производная показывает скорость изменения. Умножив скорость на величину шага, получаем приближённое изменение - ровно как путь равен скорости на время.

Геометрически дифференциал - это приращение вдоль касательной, а не вдоль самого графика. При малых dx они почти совпадают, и разница тем меньше, чем меньше шаг.

Записывают дифференциал как dy = f′(x) dx. Найти дифференциал функции - значит фактически найти её производную и приписать множитель dx.

Для f(x) = x³ производная равна 3x², значит dy = 3x² dx. В точке x = 2 при dx = 0,1 получаем dy = 12 · 0,1 = 1,2. Настоящее приращение равно 2,1³ − 2³ = 1,261 - оценка близка.

Именно на этом основано приближённое вычисление значений. Чтобы оценить √4,1, берут функцию корня в точке 4, где значение известно, и добавляют дифференциал: 2 + (1/4) · 0,1 = 2,025.

Проверять оценку полезно сравнением с точным значением: разница должна быть тем меньше, чем меньше шаг. Если она велика, значит шаг слишком большой для линейного приближения.

Правила для дифференциала повторяют правила для производной: дифференциал суммы равен сумме дифференциалов, постоянный множитель выносится.

Правила и формулы

Дифференциалdy = f'(x) dx
Приближённое приращениеΔy ≈ f'(x) Δx
Геометрически - приращение вдоль касательной
Приближённое вычислениеf(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx
Точность тем выше, чем меньше шаг

Порядок действий

Найдите производную функции.
Умножьте её на dx - получите дифференциал.
Для числовой оценки подставьте значение точки и величину шага.
Для приближённого вычисления прибавьте дифференциал к значению в известной точке.
Сравните с точным значением, если оно доступно.

Разбор примеров

Дифференциал функции x³

Производная: 3x².
Дифференциал: dy = 3x² dx.

Ответ: 3x² dx

Дифференциал x³ при x = 2, dx = 0,1

dy = 3 · 4 · 0,1.
12 · 0,1 = 1,2.

Ответ: 1,2

Оценить √4,1

Берём точку 4, где корень равен 2.
Производная корня в точке 4: 1/(2 · 2) = 0,25.
2 + 0,25 · 0,1 = 2,025.

Ответ: ≈ 2,025

Где обычно ошибаются

Забывают множитель dx и дают в ответе производную.
В приближённом вычислении берут неудобную точку, где значение неизвестно.
Считают дифференциал точным приращением функции.

Примеры с решением

1. Дана функция f(x) = x² + 2x. Найдите её дифференциал в точке x = 5 при приращении аргумента 0,2.

f′(x) = 2x + 2
f′(5) = 12
dy = 12 · 0,2 = 2,4

Ответ: 2.4

2. Дана функция f(x) = x² + 8x. Найдите её дифференциал в точке x = 2 при приращении аргумента 0,2.

f′(x) = 2x + 8
f′(2) = 12
dy = 12 · 0,2 = 2,4

Ответ: 2.4

3. Дана функция f(x) = x² + 3x. Найдите её дифференциал в точке x = 1 при приращении аргумента 0,5.

f′(x) = 2x + 3
f′(1) = 5
dy = 5 · 0,5 = 2,5

Ответ: 2.5

4. Дана функция f(x) = x² + 8x. Найдите её дифференциал в точке x = 4 при приращении аргумента 0,1.

f′(x) = 2x + 8
f′(4) = 16
dy = 16 · 0,1 = 1,6

Ответ: 1.6

5. Дана функция f(x) = 5x² + 2x. Найдите её дифференциал в точке x = 5 при приращении аргумента 0,2.

f′(x) = 10x + 2
f′(5) = 52
dy = 52 · 0,2 = 10,4

Ответ: 10.4

Подсказки, если не получается

Дифференциал — это главная линейная часть приращения функции.
dy = f′(x₀) · dx
Посчитайте производную в точке и умножьте на 0,2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Производная и интеграл»

Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.