Производная и интеграл

Производная произведения

Определения

Правило произведения

Производная произведения двух функций равна производной первой на вторую плюс первая на производную второй.

Объяснение

Производная произведения не равна произведению производных - это первое, что нужно усвоить. Ошибка настолько естественна, что её делают почти все, кто не разобрался в правиле.

Правильная формула: производная произведения равна производной первого множителя на второй плюс первый множитель на производную второго. Записывают её как (uv)′ = u′v + uv′.

Смысл в том, что произведение меняется по двум причинам сразу: из-за изменения первого множителя и из-за изменения второго. Каждая причина даёт своё слагаемое, а вместе они дают полное изменение.

Проверить формулу легко на простом примере. Возьмём u = x и v = x. Их произведение x², производная 2x. По формуле: 1 · x + x · 1 = 2x - сходится. А произведение производных дало бы 1, что неверно.

Разберём: производная от x² · sin x. Первый множитель даёт 2x, второй остаётся sin x; первый остаётся x², второй даёт cos x. Итого 2x sin x + x² cos x.

Порядок множителей значения не имеет - сложение коммутативно. Но записывать оба слагаемых обязательно; потеря одного из них - самая частая ошибка после попытки перемножить производные.

Для трёх множителей правило продолжается: слагаемых становится три, в каждом дифференцируется по одному множителю. Но в школьных и первокурсных задачах обычно хватает двух.

Правила и формулы

• Правило произведения(uv)' = u'v + uv'
• Производная произведения не равна произведению производных
• Проверка на примере(x · x)' = 1 · x + x · 1 = 2x
• Постоянный множитель просто выносится(k·u)' = k·u'
• Для трёх множителей слагаемых становится три

Порядок действий

1. Обозначьте множители как u и v.
2. Найдите производную каждого по отдельности.
3. Запишите первое слагаемое: производная первого на второй.
4. Запишите второе слагаемое: первый на производную второго.
5. Сложите и при необходимости упростите.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Перемножают производные множителей.
• Записывают только одно слагаемое из двух.
• Забывают минус в производной косинуса.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Производная сложной функции

Определения

Сложная функция

Функция от функции: sin(2x) - это синус от выражения 2x. Внешняя функция синус, внутренняя 2x.

Правило цепочки

Производная сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной от внутренней, умноженной на производную внутренней.

Объяснение

Сложная функция - это функция, аргументом которой служит другая функция. В записи sin(2x) внешняя функция - синус, внутренняя - 2x. Различить их надо до дифференцирования.

Правило цепочки: сначала дифференцируем внешнюю функцию, не трогая внутренность, а потом умножаем на производную внутренней. Формула: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).

Смысл множителя такой: если внутренняя функция меняется быстрее, то и вся композиция меняется быстрее во столько же раз. Функция sin(2x) колеблется вдвое чаще обычного синуса, поэтому её производная вдвое больше.

Разберём sin(2x). Производная внешней функции - косинус, аргумент оставляем прежним: cos(2x). Производная внутренней 2x равна 2. Итого 2cos(2x).

Забыть множитель - самая частая ошибка темы. Проверить себя можно так: если внутренняя функция не просто x, множитель обязан появиться. Если внутренняя функция равна x, её производная единица, и множитель не меняет ничего.

Для нескольких вложений правило применяют последовательно, разворачивая от внешней функции к внутренней. Производная sin(cos(2x)) равна cos(cos(2x)) · (−sin(2x)) · 2.

Проверять полезно в частном случае: подставьте простую внутреннюю функцию и сравните результат с известной производной.

Правила и формулы

• Правило цепочки(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
• Пример(sin 2x)' = 2cos 2x
• Аргумент внешней функции не меняется при дифференцировании
• Множитель - производная внутренней функции
• Для нескольких вложений правило применяют последовательно

Порядок действий

1. Определите, какая функция внешняя, какая внутренняя.
2. Продифференцируйте внешнюю, сохранив внутренность как аргумент.
3. Найдите производную внутренней функции.
4. Перемножьте результаты.
5. Проверьте, что множитель не потерян.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Забывают умножить на производную внутренней функции.
• Дифференцируют внутренность внутри внешней функции.
• Путают, какая функция внешняя, а какая внутренняя.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Дифференциал функции

Определения

Дифференциал

Главная часть приращения функции, равная производной, умноженной на приращение аргумента: dy = f′(x) dx.

Объяснение

Дифференциал - это оценка изменения функции при малом изменении аргумента. Если аргумент изменился на dx, то функция изменится примерно на f′(x)·dx.

Основание такое: производная показывает скорость изменения. Умножив скорость на величину шага, получаем приближённое изменение - ровно как путь равен скорости на время.

Геометрически дифференциал - это приращение вдоль касательной, а не вдоль самого графика. При малых dx они почти совпадают, и разница тем меньше, чем меньше шаг.

Записывают дифференциал как dy = f′(x) dx. Найти дифференциал функции - значит фактически найти её производную и приписать множитель dx.

Для f(x) = x³ производная равна 3x², значит dy = 3x² dx. В точке x = 2 при dx = 0,1 получаем dy = 12 · 0,1 = 1,2. Настоящее приращение равно 2,1³ − 2³ = 1,261 - оценка близка.

Именно на этом основано приближённое вычисление значений. Чтобы оценить √4,1, берут функцию корня в точке 4, где значение известно, и добавляют дифференциал: 2 + (1/4) · 0,1 = 2,025.

Проверять оценку полезно сравнением с точным значением: разница должна быть тем меньше, чем меньше шаг. Если она велика, значит шаг слишком большой для линейного приближения.

Правила для дифференциала повторяют правила для производной: дифференциал суммы равен сумме дифференциалов, постоянный множитель выносится.

Правила и формулы

• Дифференциалdy = f'(x) dx
• Приближённое приращениеΔy ≈ f'(x) Δx
• Геометрически - приращение вдоль касательной
• Приближённое вычислениеf(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx
• Точность тем выше, чем меньше шаг

Порядок действий

1. Найдите производную функции.
2. Умножьте её на dx - получите дифференциал.
3. Для числовой оценки подставьте значение точки и величину шага.
4. Для приближённого вычисления прибавьте дифференциал к значению в известной точке.
5. Сравните с точным значением, если оно доступно.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Забывают множитель dx и дают в ответе производную.
• В приближённом вычислении берут неудобную точку, где значение неизвестно.
• Считают дифференциал точным приращением функции.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Определённый интеграл

Определения

Первообразная

Функция, производная которой равна подынтегральной функции.

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл равен разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.

Объяснение

Определённый интеграл вычисляют в два шага: находят первообразную и берут разность её значений на концах отрезка. Второй шаг механический, вся работа в первом.

Первообразную находят обращением таблицы производных. Для степенной функции показатель увеличивается на единицу, и на новый показатель делят: первообразная от xⁿ равна x^(n+1)/(n+1). Проверить можно дифференцированием обратно.

Исключение - функция 1/x, для которой это правило не работает: нулевой знаменатель. Её первообразная равна натуральному логарифму модуля x.

Первообразные основных функций: для синуса это минус косинус, для косинуса синус, для экспоненты она сама. Знаки здесь легко перепутать, поэтому проверка дифференцированием не лишняя.

Формула Ньютона-Лейбница: интеграл равен F(b) − F(a). Порядок обязателен: из верхнего предела вычитают нижний. Перестановка меняет знак ответа.

Разберём интеграл от x² на отрезке от 0 до 3. Первообразная x³/3. В верхнем пределе 27/3 = 9, в нижнем 0. Ответ 9.

Постоянная интегрирования в определённом интеграле не нужна: она сокращается при вычитании, поэтому её можно не писать вовсе.

Если под интегралом стоит сумма, её интегрируют по слагаемым: интеграл суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель, как и при дифференцировании, выносится за знак интеграла.

Правила и формулы

• Формула Ньютона-Лейбница∫ от a до b f dx = F(b) − F(a)
• Первообразная степенной функцииx^(n+1)/(n+1)
• Особый случай∫ dx/x = ln|x|
• Первообразные тригонометрическихsin → −cos, cos → sin
• Постоянная интегрирования сокращается

Порядок действий

1. Найдите первообразную подынтегральной функции.
2. Проверьте её дифференцированием.
3. Подставьте верхний предел.
4. Подставьте нижний предел.
5. Вычтите второе значение из первого.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Вычитают в обратном порядке.
• В первообразной степенной функции не делят на новый показатель.
• Теряют знак в первообразной синуса.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Площадь криволинейной трапеции

Определения

Криволинейная трапеция

Фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми.

Объяснение

Площадь криволинейной трапеции равна определённому интегралу от функции по соответствующему отрезку. Это главное геометрическое приложение интеграла.

Условие неотрицательности функции существенно. Интеграл считает площадь со знаком: там, где график ниже оси, вклад отрицательный. Поэтому для функции, меняющей знак, интеграл даёт не площадь, а разность площадей.

Если функция на отрезке отрицательна, площадь равна интегралу, взятому со знаком минус, или интегралу от модуля функции. Разбивать отрезок по точкам пересечения с осью приходится всегда, когда знак меняется.

Разберём: площадь под параболой y = x² от 0 до 3. Функция неотрицательна, значит площадь равна интегралу: первообразная x³/3, разность 9 − 0 = 9.

Для площади между двумя кривыми интегрируют разность функций: из верхней вычитают нижнюю. Порядок важен - иначе площадь получится отрицательной.

Пределы интегрирования часто не даны напрямую, а определяются точками пересечения графиков. Тогда первым делом решают уравнение f(x) = g(x) и находят границы.

Проверять полезно прикидкой по чертежу: набросайте график и оцените площадь как площадь прямоугольника или треугольника примерно тех же размеров. Ответ, отличающийся в разы, требует перепроверки.

Правила и формулы

• Площадь под графикомS = ∫ от a до b f(x) dx при f ≥ 0
• Для отрицательной функции берут интеграл со знаком минус
• Площадь между кривымиS = ∫ (верхняя − нижняя) dx
• При смене знака отрезок разбивают
• Пределы находят из уравнения пересечения

Порядок действий

1. Нарисуйте фигуру и определите границы.
2. Если пределы не даны, найдите их из уравнения пересечения.
3. Проверьте знак функции на отрезке.
4. Составьте интеграл, при необходимости разбив отрезок.
5. Вычислите и сверьте с прикидкой по чертежу.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Считают интеграл площадью там, где функция отрицательна.
• В площади между кривыми вычитают верхнюю из нижней.
• Не находят пределы интегрирования, когда они не даны явно.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Частные производные

Определения

Функция нескольких переменных

Функция, значение которой зависит от двух и более аргументов: z = x²y + 3y.

Частная производная

Производная по одной переменной при условии, что остальные считаются постоянными.

Объяснение

Когда функция зависит от нескольких переменных, спрашивать просто «производную» бессмысленно: надо указать, по какой переменной дифференцируем. Отсюда и название - частная производная.

Правило простое: дифференцируем по указанной переменной, а все остальные считаем числами. Никаких новых приёмов не требуется, работают все обычные правила дифференцирования.

Разберём z = x²y + 3y. Частная производная по x: слагаемое x²y даёт 2xy, потому что y - постоянный множитель; слагаемое 3y не содержит x и потому даёт ноль. Итого 2xy.

Частная производная по y для той же функции: x²y даёт x², потому что теперь постоянным множителем считается x²; слагаемое 3y даёт 3. Итого x² + 3.

Обратите внимание, как меняется роль переменных: одна и та же буква в первом случае была множителем-константой, во втором - переменной дифференцирования. Держать это в голове важнее любых формул.

Обозначают частные производные значком с закруглённой d либо индексом. Смысл записи один: указано, по какой переменной дифференцируем.

Проверять полезно подстановкой: зафиксируйте вторую переменную числом, и функция превратится в обычную функцию одной переменной, производную которой легко проверить.

Частных производных у функции двух переменных две, у функции трёх - три. Вместе они образуют градиент - вектор, показывающий направление наибыстрейшего роста функции.

Правила и формулы

• Дифференцируем по одной переменной, остальные считаем константами
• Пример по xz = x²y + 3y → ∂z/∂x = 2xy
• Пример по yz = x²y + 3y → ∂z/∂y = x² + 3
• Слагаемое без нужной переменной даёт ноль
• Все обычные правила дифференцирования сохраняются

Порядок действий

1. Определите, по какой переменной дифференцируете.
2. Мысленно замените остальные переменные числами.
3. Продифференцируйте каждое слагаемое обычным способом.
4. Слагаемые без нужной переменной обратите в ноль.
5. Проверьте, зафиксировав вторую переменную конкретным числом.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Дифференцируют по обеим переменным сразу.
• Обращают в ноль слагаемое, которое содержит нужную переменную множителем.
• Забывают, что вторая переменная остаётся в ответе как константа.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней