Производная сложной функции: как решать
Найти производную сложной функции.
Определения
- Сложная функция
- Функция от функции: sin(2x) - это синус от выражения 2x. Внешняя функция синус, внутренняя 2x.
- Правило цепочки
- Производная сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной от внутренней, умноженной на производную внутренней.
Объяснение
Сложная функция - это функция, аргументом которой служит другая функция. В записи sin(2x) внешняя функция - синус, внутренняя - 2x. Различить их надо до дифференцирования.
Правило цепочки: сначала дифференцируем внешнюю функцию, не трогая внутренность, а потом умножаем на производную внутренней. Формула: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).
Смысл множителя такой: если внутренняя функция меняется быстрее, то и вся композиция меняется быстрее во столько же раз. Функция sin(2x) колеблется вдвое чаще обычного синуса, поэтому её производная вдвое больше.
Разберём sin(2x). Производная внешней функции - косинус, аргумент оставляем прежним: cos(2x). Производная внутренней 2x равна 2. Итого 2cos(2x).
Забыть множитель - самая частая ошибка темы. Проверить себя можно так: если внутренняя функция не просто x, множитель обязан появиться. Если внутренняя функция равна x, её производная единица, и множитель не меняет ничего.
Для нескольких вложений правило применяют последовательно, разворачивая от внешней функции к внутренней. Производная sin(cos(2x)) равна cos(cos(2x)) · (−sin(2x)) · 2.
Проверять полезно в частном случае: подставьте простую внутреннюю функцию и сравните результат с известной производной.
Правила и формулы
- Правило цепочки
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) - Пример
(sin 2x)' = 2cos 2x - Аргумент внешней функции не меняется при дифференцировании
- Множитель - производная внутренней функции
- Для нескольких вложений правило применяют последовательно
Порядок действий
- Определите, какая функция внешняя, какая внутренняя.
- Продифференцируйте внешнюю, сохранив внутренность как аргумент.
- Найдите производную внутренней функции.
- Перемножьте результаты.
- Проверьте, что множитель не потерян.
Разбор примеров
- Внешняя - синус, внутренняя - 2x.
- Производная внешней: cos(2x).
- Производная внутренней: 2.
- Перемножаем.
- Внешняя - пятая степень, внутренняя - 3x + 1.
- Производная внешней: 5(3x + 1)⁴.
- Производная внутренней: 3.
- Производная внешней: −sin(x²).
- Производная внутренней: 2x.
Где обычно ошибаются
- Забывают умножить на производную внутренней функции.
- Дифференцируют внутренность внутри внешней функции.
- Путают, какая функция внешняя, а какая внутренняя.
Примеры с решением
- f′(x) = 2(2x + 5) · 2
- 2 · 4 + 5 = 13
- f′(4) = 2 · 13 · 2 = 52
- f′(x) = 2(x + 6) · 1
- 1 · 4 + 6 = 10
- f′(4) = 2 · 10 · 1 = 20
- f′(x) = 2(2x + 2) · 2
- 2 · 0 + 2 = 2
- f′(0) = 2 · 2 · 2 = 8
- f′(x) = 3(4x + 6)² · 4
- 4 · 1 + 6 = 10
- f′(1) = 3 · 100 · 4 = 1200
- f′(x) = 3(2x + 3)² · 2
- 2 · 2 + 3 = 7
- f′(2) = 3 · 49 · 2 = 294
Подсказки, если не получается
- Здесь функция вложена в функцию.
- Сначала производная степени, потом производная того, что внутри скобок.
- Внутренняя производная равна 2.
Другие темы раздела «Производная и интеграл»
- Производная произведения
- Дифференциал функции
- Определённый интеграл
- Площадь криволинейной трапеции
- Частные производные
Полная справка по разделу — на странице Производная и интеграл.