Физический смысл производной: как решать

Найти скорость по закону движения.

Определения

Закон движения: Функция s(t), задающая координату или пройденный путь в зависимости от времени.
Мгновенная скорость: Производная закона движения по времени. Показывает скорость в конкретный момент, а не в среднем.
Ускорение: Производная скорости по времени, то есть вторая производная закона движения.

Объяснение

Физический смысл производной - скорость изменения. Если функция задаёт путь в зависимости от времени, её производная даёт скорость в каждый момент.

Именно с этой задачи производная и была изобретена. Средняя скорость считается делением пути на время, но она ничего не говорит о скорости в конкретный момент. Производная как раз и даёт мгновенную скорость.

Порядок решения тот же, что и в любой задаче на производную: сначала продифференцировать функцию, потом подставить момент времени. Подставлять сначала бессмысленно - получится путь, а не скорость.

Разберём: s(t) = t² + 3t. Скорость v(t) = 2t + 3. В момент t = 2 скорость равна 2 · 2 + 3 = 7.

Вторая производная даёт ускорение - скорость изменения скорости. Для нашего примера ускорение равно 2 и постоянно, то есть движение равноускоренное.

Момент остановки находят из условия «скорость равна нулю»: решают уравнение v(t) = 0. Отрицательные корни отбрасывают, потому что время не бывает отрицательным.

Проверять надо наименования: если путь в метрах, а время в секундах, скорость получится в метрах в секунду, а ускорение - в метрах на секунду в квадрате. Несовпадение наименований почти всегда означает, что где-то перепутаны величины.

Если закон движения задан для координаты, а не пути, отрицательная скорость означает движение в обратную сторону. Модуль скорости при этом остаётся мерой быстроты.

Правила и формулы

Скорость - производная путиv(t) = s'(t)
Ускорение - производная скоростиa(t) = v'(t)
Сначала дифференцируем, потом подставляем момент
Момент остановкиv(t) = 0
Отрицательные значения времени отбрасывают

Порядок действий

Выпишите закон движения.
Найдите производную по времени - это скорость.
Подставьте нужный момент времени.
Для ускорения продифференцируйте ещё раз.
Проверьте наименования результата.

Разбор примеров

s(t) = t² + 3t. Найти скорость при t = 2.

Производная: v(t) = 2t + 3.
Подставляем: 2 · 2 + 3.
Получается 7.

Ответ: 7

s(t) = 5t² . Найти ускорение.

Скорость: 10t.
Ускорение: производная скорости, то есть 10.

Ответ: 10

s(t) = t² − 6t. Когда тело остановится?

Скорость: 2t − 6.
Приравниваем нулю: 2t − 6 = 0.
t = 3.

Ответ: при t = 3

Где обычно ошибаются

Подставляют момент времени в закон движения вместо производной.
Путают скорость с ускорением.
Оставляют отрицательный корень как момент времени.

Примеры с решением

1. Точка движется по закону s(t) = 2t² + 5t + 8 (путь в метрах, время в секундах). Найдите скорость в момент t = 2 с.

v(t) = s′(t) = 4t + 5
v(2) = 4 · 2 + 5
v(2) = 13 м/с

Ответ: 13

2. Точка движется по закону s(t) = 2t² + 5t + 2 (путь в метрах, время в секундах). Найдите скорость в момент t = 4 с.

v(t) = s′(t) = 4t + 5
v(4) = 4 · 4 + 5
v(4) = 21 м/с

Ответ: 21

3. Точка движется по закону s(t) = 3t² + 4t + 8 (путь в метрах, время в секундах). Найдите скорость в момент t = 3 с.

v(t) = s′(t) = 6t + 4
v(3) = 6 · 3 + 4
v(3) = 22 м/с

Ответ: 22

4. Точка движется по закону s(t) = 4t² + 9t + 6 (путь в метрах, время в секундах). Найдите скорость в момент t = 5 с.

v(t) = s′(t) = 8t + 9
v(5) = 8 · 5 + 9
v(5) = 49 м/с

Ответ: 49

5. Точка движется по закону s(t) = 3t² + 5t + 8 (путь в метрах, время в секундах). Найдите скорость в момент t = 3 с.

v(t) = s′(t) = 6t + 5
v(3) = 6 · 3 + 5
v(3) = 23 м/с

Ответ: 23

Подсказки, если не получается

Это физический смысл производной.
Скорость равна производной пути.
Найдите s′(t) и подставьте t = 2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.