Точка экстремума: как решать

Найти точку экстремума.

Определения

Точка максимума: Точка, в которой функция перестаёт возрастать и начинает убывать. Производная меняет знак с плюса на минус.
Точка минимума: Точка, в которой функция перестаёт убывать и начинает возрастать. Производная меняет знак с минуса на плюс.
Критическая точка: Точка, в которой производная равна нулю или не существует. Экстремум может быть только в критической точке.

Объяснение

Экстремум - это точка поворота: функция меняет направление с роста на убывание или наоборот. Производная в такой точке обращается в ноль, потому что касательная становится горизонтальной.

Но обращение производной в ноль само по себе экстремума не гарантирует. У функции x³ производная в нуле равна нулю, однако функция продолжает расти - точка перегиба, а не экстремум. Поэтому одного уравнения f′(x) = 0 недостаточно.

Обязательный второй шаг - проверка смены знака производной. Если слева от точки производная положительна, а справа отрицательна, это максимум. Если наоборот - минимум. Если знак не меняется, экстремума нет.

Удобно оформлять это методом интервалов: находят корни производной, отмечают их на прямой, определяют знак производной на каждом промежутке. Картинка сразу показывает, где рост, где убывание и где повороты.

Разберём: для f(x) = x³ − 3x производная равна 3x² − 3, её корни x = 1 и x = −1. Правее единицы производная положительна, между корнями отрицательна, левее минус единицы положительна. Значит в точке −1 максимум, в точке 1 минимум.

Не путайте точку экстремума со значением функции в ней. Точка экстремума - это x, а значение - это y. Вопрос «найти точку максимума» требует ответа x = −1, а не y = 2.

Проверять полезно по смыслу: у кубической функции с положительным старшим коэффициентом сначала идёт максимум, потом минимум. Обратный порядок означает ошибку в знаках.

Правила и формулы

В точке экстремума производная равна нулюf'(x) = 0
Ноль производной ещё не гарантирует экстремума
Смена знака с плюса на минус - максимум
Смена знака с минуса на плюс - минимум
Точка экстремума - этоx, а не значение функции

Порядок действий

Найдите производную функции.
Решите уравнение: производная равна нулю.
Отметьте корни на числовой прямой.
Определите знак производной на каждом промежутке.
Там, где знак меняется, укажите тип экстремума.

Разбор примеров

f(x) = x³ − 3x. Найти точки экстремума.

Производная: 3x² − 3.
Корни: x = 1 и x = −1.
Знаки: плюс, минус, плюс.
В −1 максимум, в 1 минимум.

Ответ: max при x = −1, min при x = 1

f(x) = x² − 4x. Найти точку минимума.

Производная: 2x − 4.
Корень: x = 2.
Слева минус, справа плюс.

Ответ: x = 2

f(x) = x³. Есть ли экстремум?

Производная: 3x², корень x = 0.
Слева и справа производная положительна.
Знак не меняется.

Ответ: экстремума нет

Где обычно ошибаются

Считают экстремумом любую точку, где производная равна нулю.
В ответ дают значение функции вместо точки.
Путают максимум с минимумом, неверно определив знаки.

Примеры с решением

1. Найдите точку минимума функции f(x) = 2x² − 24x + 7.

f′(x) = 4x − 24
4x − 24 = 0
x = 24 : 4 = 6

Ответ: 6

2. Найдите точку минимума функции f(x) = x² − 4x + 4.

f′(x) = 2x − 4
2x − 4 = 0
x = 4 : 2 = 2

Ответ: 2

3. Найдите точку минимума функции f(x) = x² − 4x + 1.

f′(x) = 2x − 4
2x − 4 = 0
x = 4 : 2 = 2

Ответ: 2

4. Найдите точку минимума функции f(x) = 4x² − 16x + 7.

f′(x) = 8x − 16
8x − 16 = 0
x = 16 : 8 = 2

Ответ: 2

5. Найдите точку минимума функции f(x) = 4x² − 32x + 3.

f′(x) = 8x − 32
8x − 32 = 0
x = 32 : 8 = 4

Ответ: 4

Подсказки, если не получается

Экстремум ищут там, где производная обращается в нуль.
Приравняйте f′(x) к нулю.
Решите уравнение 4x = 24.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.