Касательная к графику: как решать

Найти угловой коэффициент касательной.

Определения

Касательная: Прямая, которая в точке касания имеет то же направление, что и график функции.
Угловой коэффициент касательной: Равен значению производной функции в точке касания.

Объяснение

Связь производной и касательной - главное геометрическое содержание производной. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке. Это не отдельная формула, а смысл самого понятия.

Поэтому задача «найти угловой коэффициент касательной» и задача «найти производную в точке» - одна и та же задача, сформулированная разными словами. Решается она одинаково.

Если требуется само уравнение касательной, используют формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). В ней f(x₀) - значение функции в точке касания, а f′(x₀) - угловой коэффициент.

Разберём: для f(x) = x² в точке x = 3 производная равна 2x, то есть 6. Значит угловой коэффициент касательной равен 6. Значение функции равно 9, и уравнение касательной y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.

Знак углового коэффициента говорит о поведении функции: положительный - функция возрастает, отрицательный - убывает, нулевой - касательная горизонтальна, и точка может быть экстремумом.

Угол наклона касательной к оси абсцисс связан с коэффициентом через тангенс: k = tg α. Поэтому вопрос про угол в 45 градусов означает k = 1, а про 135 градусов - k = −1.

Проверять полезно по графику: если функция в точке явно растёт, коэффициент обязан быть положительным.

Правила и формулы

Угловой коэффициент касательнойk = f'(x₀)
Уравнение касательнойy = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)
Связь с углом наклонаk = tg α
k > 0 - функция возрастает, k < 0 - убывает
k = 0 - касательная горизонтальна

Порядок действий

Найдите производную функции.
Подставьте в неё абсциссу точки касания.
Полученное число и есть угловой коэффициент.
Для уравнения касательной найдите ещё значение функции в этой точке.
Проверьте знак по поведению функции.

Разбор примеров

f(x) = x², точка x = 3. Найти угловой коэффициент.

Производная: 2x.
Подставляем: 2 · 3 = 6.

Ответ: 6

f(x) = x³, точка x = 1. Найти угловой коэффициент.

Производная: 3x².
3 · 1 = 3.

Ответ: 3

f(x) = x² − 4x, найти точку с горизонтальной касательной.

Производная: 2x − 4.
Приравниваем нулю: 2x − 4 = 0.
x = 2.

Ответ: x = 2

Где обычно ошибаются

Подставляют точку в функцию вместо производной.
Путают угловой коэффициент со значением функции.
В уравнении касательной забывают слагаемое f(x₀).

Примеры с решением

1. К графику функции f(x) = 3x² + 9x + 2 проведена касательная в точке с абсциссой 1. Найдите её угловой коэффициент.

k = f′(x₀)
f′(x) = 6x + 9
k = f′(1) = 15

Ответ: 15

2. К графику функции f(x) = 2x² + 3x + 3 проведена касательная в точке с абсциссой 5. Найдите её угловой коэффициент.

k = f′(x₀)
f′(x) = 4x + 3
k = f′(5) = 23

Ответ: 23

3. К графику функции f(x) = 3x² + 6x + 6 проведена касательная в точке с абсциссой 6. Найдите её угловой коэффициент.

k = f′(x₀)
f′(x) = 6x + 6
k = f′(6) = 42

Ответ: 42

4. К графику функции f(x) = 2x² − 9x проведена касательная в точке с абсциссой 3. Найдите её угловой коэффициент.

k = f′(x₀)
f′(x) = 4x − 9
k = f′(3) = 3

Ответ: 3

5. К графику функции f(x) = 4x² − 7x + 8 проведена касательная в точке с абсциссой 5. Найдите её угловой коэффициент.

k = f′(x₀)
f′(x) = 8x − 7
k = f′(5) = 33

Ответ: 33

Подсказки, если не получается

Это геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
Посчитайте производную и подставьте x = 1.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.