Производная в точке: как решать

Найти производную в точке.

Определения

Производная: Скорость изменения функции. Показывает, на сколько меняется значение функции при малом изменении аргумента.
Производная в точке: Значение производной функции при конкретном значении аргумента. Равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.

Объяснение

Производная измеряет скорость изменения функции. Если функция описывает путь, производная даёт скорость; если описывает объём воды в баке, производная даёт скорость наполнения.

Геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Большая производная означает крутой подъём, отрицательная - спуск, нулевая - горизонтальную касательную.

Для вычисления производных пользуются таблицей и правилами, а не определением через предел. Основные табличные производные: степенная функция даёт nx^(n−1), синус даёт косинус, косинус даёт минус синус, экспонента остаётся собой.

Правила такие: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится за знак производной, производная константы равна нулю. Этих трёх правил хватает для большинства школьных задач.

Порядок работы: сначала найти производную как функцию, потом подставить в неё значение точки. Обратный порядок бессмыслен - подставив число в исходную функцию, вы получите значение функции, а не производной.

Разберём: для f(x) = x³ − 3x производная равна 3x² − 3. В точке x = 2 получаем 3 · 4 − 3 = 9.

Проверять полезно по смыслу: если функция в окрестности точки растёт, производная обязана быть положительной. Отрицательный ответ для явно возрастающей функции означает ошибку в знаке.

Правила и формулы

Степенная функция(xⁿ)' = n·x^(n−1)
Константа(C)' = 0
Постоянный множитель выносится(k·f)' = k·f'
Производная суммы(f + g)' = f' + g'
Сначала производная как функция, потом подстановка точки

Порядок действий

Разбейте функцию на слагаемые.
Найдите производную каждого слагаемого по таблице.
Вынесите постоянные множители, отбросьте константы.
Соберите производную как функцию.
Подставьте значение точки и вычислите.

Разбор примеров

f(x) = x³ − 3x, найти f'(2)

Производная: 3x² − 3.
Подставляем x = 2: 3 · 4 − 3.
12 − 3 = 9.

Ответ: 9

f(x) = x² + 5, найти f'(3)

Производная: 2x, константа даёт ноль.
2 · 3 = 6.

Ответ: 6

f(x) = 4x, найти f'(1)

Производная линейной функции равна коэффициенту: 4.
Она постоянна и не зависит от точки.

Ответ: 4

Где обычно ошибаются

Подставляют точку в исходную функцию вместо производной.
Забывают, что производная константы равна нулю.
В степенной функции не уменьшают показатель на единицу.

Примеры с решением

1. Дана функция f(x) = 2x² + 2x + 5. Найдите f′(3).

f′(x) = 4x + 2
f′(3) = 4 · 3 + 2
f′(3) = 14

Ответ: 14

2. Дана функция f(x) = 3x² + 3x + 7. Найдите f′(3).

f′(x) = 6x + 3
f′(3) = 6 · 3 + 3
f′(3) = 21

Ответ: 21

3. Дана функция f(x) = x² − 5x + 5. Найдите f′(2).

f′(x) = 2x − 5
f′(2) = 2 · 2 − 5
f′(2) = −1

Ответ: -1

4. Дана функция f(x) = 2x² + 7x + 5. Найдите f′(4).

f′(x) = 4x + 7
f′(4) = 4 · 4 + 7
f′(4) = 23

Ответ: 23

5. Дана функция f(x) = x² − 6x + 9. Найдите f′(5).

f′(x) = 2x − 6
f′(5) = 2 · 5 − 6
f′(5) = 4

Ответ: 4

Подсказки, если не получается

Сначала найдите производную функции, потом подставьте число.
(2x²)′ = 4x, (2x)′ = 2, (5)′ = 0.
Подставьте x = 3.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.