Наибольшее значение функции: как решать

Найти наибольшее или наименьшее значение функции.

Определения

Наибольшее значение на отрезке: Самое большое значение, которое функция принимает на данном отрезке. Достигается либо в критической точке, либо на конце отрезка.

Объяснение

Задача о наибольшем и наименьшем значении отличается от задачи об экстремуме: там искали точки поворота, здесь - самое большое и самое малое значение на заданном отрезке.

Разница существенна. Наибольшее значение может достигаться не в точке максимума, а на конце отрезка, где функция вообще не поворачивает. Поэтому концы отрезка проверять обязательно.

Порядок решения такой. Находим производную и её нули, отбираем те, что попали внутрь отрезка. Затем вычисляем значения функции в этих точках и на обоих концах отрезка. Наибольшее из полученных чисел и есть ответ.

Обратите внимание: определять тип экстремума здесь не нужно вовсе. Мы просто сравниваем значения в нескольких точках, и наибольшее выигрывает независимо от того, максимум это или конец отрезка.

Разберём: f(x) = x² на отрезке от −1 до 3. Производная 2x, её нуль x = 0 попадает в отрезок. Считаем значения: f(−1) = 1, f(0) = 0, f(3) = 9. Наибольшее 9 достигается на правом конце, наименьшее 0 - в критической точке.

Критические точки вне отрезка отбрасывают сразу: на них функция не рассматривается. Это частая ошибка - взять в расчёт корень производной, не проверив, попадает ли он в отрезок.

В ответе указывают именно значение функции, а не точку, если спрашивают про наибольшее значение. Если спрашивают, в какой точке оно достигается, - тогда точку.

Правила и формулы

Проверяют критические точки внутри отрезка и оба конца
Тип экстремума определять не нужно
Критические точки вне отрезка отбрасывают
Сравнивают значения функции, а не производной
Наибольшее может достигаться на конце отрезка

Порядок действий

Найдите производную и приравняйте её нулю.
Отберите корни, попавшие внутрь отрезка.
Вычислите значения функции в этих точках.
Вычислите значения функции на обоих концах отрезка.
Выберите наибольшее или наименьшее из полученных чисел.

Разбор примеров

f(x) = x² на отрезке [−1; 3]. Найти наибольшее значение.

Производная 2x, нуль в x = 0, он внутри отрезка.
f(−1) = 1, f(0) = 0, f(3) = 9.
Наибольшее из них 9.

Ответ: 9

Та же функция: наименьшее значение.

Сравниваем те же три числа: 1, 0, 9.
Наименьшее 0.

Ответ: 0

f(x) = 2x + 1 на отрезке [0; 5]

Производная равна 2, нулей нет.
Проверяем концы: f(0) = 1, f(5) = 11.

Ответ: наибольшее 11, наименьшее 1

Где обычно ошибаются

Не проверяют концы отрезка и теряют ответ.
Берут критическую точку, лежащую вне отрезка.
В ответ дают точку вместо значения функции.

Примеры с решением

1. Найдите наибольшее значение функции f(x) = −2x² + 4x + 13.

f′(x) = −4x + 4
−4x + 4 = 0, значит x = 1
f(1) = 15

Ответ: 15

2. Найдите наибольшее значение функции f(x) = −2x² + 20x − 36.

f′(x) = −4x + 20
−4x + 20 = 0, значит x = 5
f(5) = 14

Ответ: 14

3. Найдите наибольшее значение функции f(x) = −3x² + 12x − 6.

f′(x) = −6x + 12
−6x + 12 = 0, значит x = 2
f(2) = 6

Ответ: 6

4. Найдите наибольшее значение функции f(x) = −x² + 6x + 2.

f′(x) = −2x + 6
−2x + 6 = 0, значит x = 3
f(3) = 11

Ответ: 11

5. Найдите наибольшее значение функции f(x) = −3x² + 18x − 25.

f′(x) = −6x + 18
−6x + 18 = 0, значит x = 3
f(3) = 2

Ответ: 2

Подсказки, если не получается

Коэффициент при x² отрицательный — ветви вниз, значит есть максимум.
Найдите нуль производной — это абсцисса вершины.
Подставьте x = 1 в функцию.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.