Определённый интеграл: как решать

Вычислить определённый интеграл.

Определения

Первообразная: Функция, производная которой равна данной функции. Для 2x первообразной служит x², а также x² плюс любая константа.
Определённый интеграл: Разность значений первообразной на концах отрезка. Численно равен площади под графиком неотрицательной функции.
Формула Ньютона-Лейбница: Правило вычисления определённого интеграла через первообразную: интеграл равен F(b) − F(a).

Объяснение

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Найти первообразную значит найти функцию, производная которой равна данной.

Первообразная определена с точностью до константы: у функции 2x первообразными служат и x², и x² + 5, потому что производная константы равна нулю. Но для определённого интеграла это неважно - константа сократится при вычитании.

Формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл с первообразной: определённый интеграл равен значению первообразной в верхнем пределе минус значение в нижнем. Записывают это как F(b) − F(a).

Основная таблица получается обращением таблицы производных. Для степенной функции первообразная равна x^(n+1)/(n+1): показатель увеличивается на единицу, и на новый показатель делят. Это зеркальное отражение правила дифференцирования.

Разберём интеграл от 2x на отрезке от 0 до 3. Первообразная равна x². Значение в верхнем пределе 9, в нижнем 0, разность 9.

Геометрический смысл: для неотрицательной функции определённый интеграл равен площади фигуры под графиком между вертикальными прямыми x = a и x = b. Поэтому задачи на площадь криволинейной трапеции решаются интегралом.

Порядок пределов важен: перестановка меняет знак интеграла. Вычитать надо именно нижний предел из верхнего, а не наоборот.

Правила и формулы

Формула Ньютона-Лейбница∫ от a до b = F(b) − F(a)
Первообразная степенной функцииx^(n+1)/(n+1)
Первообразная постояннойC → Cx
Константа при вычитании сокращается
Перестановка пределов меняет знак

Порядок действий

Найдите первообразную подынтегральной функции.
Проверьте её, продифференцировав обратно.
Подставьте верхний предел.
Подставьте нижний предел.
Вычтите второе из первого.

Разбор примеров

Интеграл от 2x на отрезке от 0 до 3

Первообразная: x².
В верхнем пределе: 3² = 9.
В нижнем: 0² = 0.
9 − 0 = 9.

Ответ: 9

Интеграл от x² на отрезке от 0 до 3

Первообразная: x³/3.
В верхнем: 27/3 = 9.
В нижнем: 0.
Ответ 9.

Ответ: 9

Интеграл от 3 на отрезке от 1 до 4

Первообразная постоянной: 3x.
3 · 4 = 12, 3 · 1 = 3.
12 − 3 = 9.

Ответ: 9

Где обычно ошибаются

Вычитают верхний предел из нижнего.
В первообразной степенной функции забывают делить на новый показатель.
Дифференцируют вместо интегрирования.

Примеры с решением

1. Вычислите определённый интеграл функции 4x на отрезке от 2 до 5.

Первообразная: F(x) = 2x²
F(5) = 50, F(2) = 8
F(5) − F(2) = 42

Ответ: 42

2. Вычислите определённый интеграл функции 9x² на отрезке от 1 до 4.

Первообразная: F(x) = 3x³
F(4) = 192, F(1) = 3
F(4) − F(1) = 189

Ответ: 189

3. Вычислите определённый интеграл функции 6x на отрезке от 2 до 4.

Первообразная: F(x) = 3x²
F(4) = 48, F(2) = 12
F(4) − F(2) = 36

Ответ: 36

4. Вычислите определённый интеграл функции 8x³ на отрезке от 2 до 4.

Первообразная: F(x) = 2x⁴
F(4) = 512, F(2) = 32
F(4) − F(2) = 480

Ответ: 480

5. Вычислите определённый интеграл функции 8x на отрезке от 2 до 3.

Первообразная: F(x) = 4x²
F(3) = 36, F(2) = 16
F(3) − F(2) = 20

Ответ: 20

Подсказки, если не получается

Сначала найдите первообразную: показатель увеличивается на единицу, коэффициент делится на новый показатель.
F(x) = 2x²
Подставьте верхний предел, вычтите значение в нижнем.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Начала анализа»

Полная справка по разделу — на странице Начала анализа.