Начала анализа

Производная в точке

Определения

Производная

Скорость изменения функции. Показывает, на сколько меняется значение функции при малом изменении аргумента.

Производная в точке

Значение производной функции при конкретном значении аргумента. Равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.

Объяснение

Производная измеряет скорость изменения функции. Если функция описывает путь, производная даёт скорость; если описывает объём воды в баке, производная даёт скорость наполнения.

Геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Большая производная означает крутой подъём, отрицательная - спуск, нулевая - горизонтальную касательную.

Для вычисления производных пользуются таблицей и правилами, а не определением через предел. Основные табличные производные: степенная функция даёт nx^(n−1), синус даёт косинус, косинус даёт минус синус, экспонента остаётся собой.

Правила такие: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится за знак производной, производная константы равна нулю. Этих трёх правил хватает для большинства школьных задач.

Порядок работы: сначала найти производную как функцию, потом подставить в неё значение точки. Обратный порядок бессмыслен - подставив число в исходную функцию, вы получите значение функции, а не производной.

Разберём: для f(x) = x³ − 3x производная равна 3x² − 3. В точке x = 2 получаем 3 · 4 − 3 = 9.

Проверять полезно по смыслу: если функция в окрестности точки растёт, производная обязана быть положительной. Отрицательный ответ для явно возрастающей функции означает ошибку в знаке.

Правила и формулы

• Степенная функция(xⁿ)' = n·x^(n−1)
• Константа(C)' = 0
• Постоянный множитель выносится(k·f)' = k·f'
• Производная суммы(f + g)' = f' + g'
• Сначала производная как функция, потом подстановка точки

Порядок действий

1. Разбейте функцию на слагаемые.
2. Найдите производную каждого слагаемого по таблице.
3. Вынесите постоянные множители, отбросьте константы.
4. Соберите производную как функцию.
5. Подставьте значение точки и вычислите.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Подставляют точку в исходную функцию вместо производной.
• Забывают, что производная константы равна нулю.
• В степенной функции не уменьшают показатель на единицу.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Касательная к графику

Определения

Касательная

Прямая, которая в точке касания имеет то же направление, что и график функции.

Угловой коэффициент касательной

Равен значению производной функции в точке касания.

Объяснение

Связь производной и касательной - главное геометрическое содержание производной. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной в этой точке. Это не отдельная формула, а смысл самого понятия.

Поэтому задача «найти угловой коэффициент касательной» и задача «найти производную в точке» - одна и та же задача, сформулированная разными словами. Решается она одинаково.

Если требуется само уравнение касательной, используют формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). В ней f(x₀) - значение функции в точке касания, а f′(x₀) - угловой коэффициент.

Разберём: для f(x) = x² в точке x = 3 производная равна 2x, то есть 6. Значит угловой коэффициент касательной равен 6. Значение функции равно 9, и уравнение касательной y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.

Знак углового коэффициента говорит о поведении функции: положительный - функция возрастает, отрицательный - убывает, нулевой - касательная горизонтальна, и точка может быть экстремумом.

Угол наклона касательной к оси абсцисс связан с коэффициентом через тангенс: k = tg α. Поэтому вопрос про угол в 45 градусов означает k = 1, а про 135 градусов - k = −1.

Проверять полезно по графику: если функция в точке явно растёт, коэффициент обязан быть положительным.

Правила и формулы

• Угловой коэффициент касательнойk = f'(x₀)
• Уравнение касательнойy = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)
• Связь с углом наклонаk = tg α
• k > 0 - функция возрастает, k < 0 - убывает
• k = 0 - касательная горизонтальна

Порядок действий

1. Найдите производную функции.
2. Подставьте в неё абсциссу точки касания.
3. Полученное число и есть угловой коэффициент.
4. Для уравнения касательной найдите ещё значение функции в этой точке.
5. Проверьте знак по поведению функции.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Подставляют точку в функцию вместо производной.
• Путают угловой коэффициент со значением функции.
• В уравнении касательной забывают слагаемое f(x₀).

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Точка экстремума

Определения

Точка максимума

Точка, в которой функция перестаёт возрастать и начинает убывать. Производная меняет знак с плюса на минус.

Точка минимума

Точка, в которой функция перестаёт убывать и начинает возрастать. Производная меняет знак с минуса на плюс.

Критическая точка

Точка, в которой производная равна нулю или не существует. Экстремум может быть только в критической точке.

Объяснение

Экстремум - это точка поворота: функция меняет направление с роста на убывание или наоборот. Производная в такой точке обращается в ноль, потому что касательная становится горизонтальной.

Но обращение производной в ноль само по себе экстремума не гарантирует. У функции x³ производная в нуле равна нулю, однако функция продолжает расти - точка перегиба, а не экстремум. Поэтому одного уравнения f′(x) = 0 недостаточно.

Обязательный второй шаг - проверка смены знака производной. Если слева от точки производная положительна, а справа отрицательна, это максимум. Если наоборот - минимум. Если знак не меняется, экстремума нет.

Удобно оформлять это методом интервалов: находят корни производной, отмечают их на прямой, определяют знак производной на каждом промежутке. Картинка сразу показывает, где рост, где убывание и где повороты.

Разберём: для f(x) = x³ − 3x производная равна 3x² − 3, её корни x = 1 и x = −1. Правее единицы производная положительна, между корнями отрицательна, левее минус единицы положительна. Значит в точке −1 максимум, в точке 1 минимум.

Не путайте точку экстремума со значением функции в ней. Точка экстремума - это x, а значение - это y. Вопрос «найти точку максимума» требует ответа x = −1, а не y = 2.

Проверять полезно по смыслу: у кубической функции с положительным старшим коэффициентом сначала идёт максимум, потом минимум. Обратный порядок означает ошибку в знаках.

Правила и формулы

• В точке экстремума производная равна нулюf'(x) = 0
• Ноль производной ещё не гарантирует экстремума
• Смена знака с плюса на минус - максимум
• Смена знака с минуса на плюс - минимум
• Точка экстремума - этоx, а не значение функции

Порядок действий

1. Найдите производную функции.
2. Решите уравнение: производная равна нулю.
3. Отметьте корни на числовой прямой.
4. Определите знак производной на каждом промежутке.
5. Там, где знак меняется, укажите тип экстремума.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Считают экстремумом любую точку, где производная равна нулю.
• В ответ дают значение функции вместо точки.
• Путают максимум с минимумом, неверно определив знаки.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Наибольшее значение функции

Определения

Наибольшее значение на отрезке

Самое большое значение, которое функция принимает на данном отрезке. Достигается либо в критической точке, либо на конце отрезка.

Объяснение

Задача о наибольшем и наименьшем значении отличается от задачи об экстремуме: там искали точки поворота, здесь - самое большое и самое малое значение на заданном отрезке.

Разница существенна. Наибольшее значение может достигаться не в точке максимума, а на конце отрезка, где функция вообще не поворачивает. Поэтому концы отрезка проверять обязательно.

Порядок решения такой. Находим производную и её нули, отбираем те, что попали внутрь отрезка. Затем вычисляем значения функции в этих точках и на обоих концах отрезка. Наибольшее из полученных чисел и есть ответ.

Обратите внимание: определять тип экстремума здесь не нужно вовсе. Мы просто сравниваем значения в нескольких точках, и наибольшее выигрывает независимо от того, максимум это или конец отрезка.

Разберём: f(x) = x² на отрезке от −1 до 3. Производная 2x, её нуль x = 0 попадает в отрезок. Считаем значения: f(−1) = 1, f(0) = 0, f(3) = 9. Наибольшее 9 достигается на правом конце, наименьшее 0 - в критической точке.

Критические точки вне отрезка отбрасывают сразу: на них функция не рассматривается. Это частая ошибка - взять в расчёт корень производной, не проверив, попадает ли он в отрезок.

В ответе указывают именно значение функции, а не точку, если спрашивают про наибольшее значение. Если спрашивают, в какой точке оно достигается, - тогда точку.

Правила и формулы

• Проверяют критические точки внутри отрезка и оба конца
• Тип экстремума определять не нужно
• Критические точки вне отрезка отбрасывают
• Сравнивают значения функции, а не производной
• Наибольшее может достигаться на конце отрезка

Порядок действий

1. Найдите производную и приравняйте её нулю.
2. Отберите корни, попавшие внутрь отрезка.
3. Вычислите значения функции в этих точках.
4. Вычислите значения функции на обоих концах отрезка.
5. Выберите наибольшее или наименьшее из полученных чисел.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Не проверяют концы отрезка и теряют ответ.
• Берут критическую точку, лежащую вне отрезка.
• В ответ дают точку вместо значения функции.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Определённый интеграл

Определения

Первообразная

Функция, производная которой равна данной функции. Для 2x первообразной служит x², а также x² плюс любая константа.

Определённый интеграл

Разность значений первообразной на концах отрезка. Численно равен площади под графиком неотрицательной функции.

Формула Ньютона-Лейбница

Правило вычисления определённого интеграла через первообразную: интеграл равен F(b) − F(a).

Объяснение

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Найти первообразную значит найти функцию, производная которой равна данной.

Первообразная определена с точностью до константы: у функции 2x первообразными служат и x², и x² + 5, потому что производная константы равна нулю. Но для определённого интеграла это неважно - константа сократится при вычитании.

Формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл с первообразной: определённый интеграл равен значению первообразной в верхнем пределе минус значение в нижнем. Записывают это как F(b) − F(a).

Основная таблица получается обращением таблицы производных. Для степенной функции первообразная равна x^(n+1)/(n+1): показатель увеличивается на единицу, и на новый показатель делят. Это зеркальное отражение правила дифференцирования.

Разберём интеграл от 2x на отрезке от 0 до 3. Первообразная равна x². Значение в верхнем пределе 9, в нижнем 0, разность 9.

Геометрический смысл: для неотрицательной функции определённый интеграл равен площади фигуры под графиком между вертикальными прямыми x = a и x = b. Поэтому задачи на площадь криволинейной трапеции решаются интегралом.

Порядок пределов важен: перестановка меняет знак интеграла. Вычитать надо именно нижний предел из верхнего, а не наоборот.

Правила и формулы

• Формула Ньютона-Лейбница∫ от a до b = F(b) − F(a)
• Первообразная степенной функцииx^(n+1)/(n+1)
• Первообразная постояннойC → Cx
• Константа при вычитании сокращается
• Перестановка пределов меняет знак

Порядок действий

1. Найдите первообразную подынтегральной функции.
2. Проверьте её, продифференцировав обратно.
3. Подставьте верхний предел.
4. Подставьте нижний предел.
5. Вычтите второе из первого.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Вычитают верхний предел из нижнего.
• В первообразной степенной функции забывают делить на новый показатель.
• Дифференцируют вместо интегрирования.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Физический смысл производной

Определения

Закон движения

Функция s(t), задающая координату или пройденный путь в зависимости от времени.

Мгновенная скорость

Производная закона движения по времени. Показывает скорость в конкретный момент, а не в среднем.

Ускорение

Производная скорости по времени, то есть вторая производная закона движения.

Объяснение

Физический смысл производной - скорость изменения. Если функция задаёт путь в зависимости от времени, её производная даёт скорость в каждый момент.

Именно с этой задачи производная и была изобретена. Средняя скорость считается делением пути на время, но она ничего не говорит о скорости в конкретный момент. Производная как раз и даёт мгновенную скорость.

Порядок решения тот же, что и в любой задаче на производную: сначала продифференцировать функцию, потом подставить момент времени. Подставлять сначала бессмысленно - получится путь, а не скорость.

Разберём: s(t) = t² + 3t. Скорость v(t) = 2t + 3. В момент t = 2 скорость равна 2 · 2 + 3 = 7.

Вторая производная даёт ускорение - скорость изменения скорости. Для нашего примера ускорение равно 2 и постоянно, то есть движение равноускоренное.

Момент остановки находят из условия «скорость равна нулю»: решают уравнение v(t) = 0. Отрицательные корни отбрасывают, потому что время не бывает отрицательным.

Проверять надо наименования: если путь в метрах, а время в секундах, скорость получится в метрах в секунду, а ускорение - в метрах на секунду в квадрате. Несовпадение наименований почти всегда означает, что где-то перепутаны величины.

Если закон движения задан для координаты, а не пути, отрицательная скорость означает движение в обратную сторону. Модуль скорости при этом остаётся мерой быстроты.

Правила и формулы

• Скорость - производная путиv(t) = s'(t)
• Ускорение - производная скоростиa(t) = v'(t)
• Сначала дифференцируем, потом подставляем момент
• Момент остановкиv(t) = 0
• Отрицательные значения времени отбрасывают

Порядок действий

1. Выпишите закон движения.
2. Найдите производную по времени - это скорость.
3. Подставьте нужный момент времени.
4. Для ускорения продифференцируйте ещё раз.
5. Проверьте наименования результата.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Подставляют момент времени в закон движения вместо производной.
• Путают скорость с ускорением.
• Оставляют отрицательный корень как момент времени.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней