Значения на тригонометрической окружности: как решать
Найти значение функции по тригонометрической окружности.
Определения
- Единичная окружность
- Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Косинус угла - абсцисса точки на ней, синус - ордината.
- Четверти
- Четыре части координатной плоскости. Знаки синуса и косинуса в них разные, и это определяет знак ответа.
Объяснение
Единичная окружность превращает тригонометрию из набора формул в наглядную картинку. Точка на окружности, отвечающая углу, имеет координаты (cos α; sin α) - и всё поведение функций читается прямо с чертежа.
Отсюда сразу видно, почему синус и косинус не превосходят единицы по модулю: координаты точки на окружности радиуса 1 не могут быть больше радиуса.
Знаки функций в четвертях тоже читаются с картинки. В первой четверти обе координаты положительны, значит и синус, и косинус положительны. Во второй абсцисса отрицательна - косинус минус, синус плюс. В третьей обе отрицательны. В четвёртой косинус плюс, синус минус.
Запоминать знаки отдельным списком не нужно: достаточно представить, в какой стороне лежит точка. Направо - косинус положителен, вверх - синус положителен.
Углы больше 360 градусов приводят к основному промежутку вычитанием полных оборотов: точка на окружности та же самая. Отрицательные углы отсчитывают по часовой стрелке.
Значения в характерных точках стоит знать наизусть: при 0 градусов косинус 1, синус 0; при 90 наоборот; при 180 косинус −1, синус 0; при 270 косинус 0, синус −1. Все они читаются прямо с чертежа как координаты четырёх точек пересечения окружности с осями.
Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому он не определён там, где косинус равен нулю - при 90 и 270 градусах.
Правила и формулы
- Координаты точки
(cos α; sin α) - Ограничение
|sin α| ≤ 1, |cos α| ≤ 1 - Знаки по четвертям
I: + +, II: − +, III: − −, IV: + − - Характерные значения
cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 180° = −1, sin 270° = −1 - Тангенс не определён при cos α = 0
Порядок действий
- Приведите угол к промежутку от 0 до 360 градусов.
- Определите, в какой четверти лежит точка.
- Найдите знаки синуса и косинуса по расположению точки.
- Найдите модуль значения по табличным углам.
- Соедините знак и модуль.
Разбор примеров
- Точка лежит на отрицательной части оси абсцисс.
- Её координаты (−1; 0).
- Косинус - абсцисса.
- Точка внизу, координаты (0; −1).
- Синус - ордината.
- 200° лежит в третьей четверти.
- Там ордината отрицательна.
Где обычно ошибаются
- Путают синус с косинусом: берут абсциссу вместо ординаты.
- Ошибаются со знаком, не определив четверть.
- Считают тангенс определённым при угле 90 градусов.
Примеры с решением
- Угол 135° лежит во II четверти.
- ctg 135° = −1
- 120° и 2π/3 — один и тот же угол: развёрнутый угол π равен 180°.
- cos (2π/3) = −0,5
- Угол 315° лежит в IV четверти.
- tg 315° = −1
- Угол 60° лежит в I четверти.
- cos 60° = 0,5
- 90° и π/2 — один и тот же угол: развёрнутый угол π равен 180°.
- cos (π/2) = 0
Подсказки, если не получается
- Отметьте угол на тригонометрической окружности.
- Котангенс — отношение косинуса к синусу.
- Угол 135° лежит во II четверти.
Другие темы раздела «Тригонометрия: окружность и формулы»
Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия: окружность и формулы.