Matisto

Тригонометрические уравнения: как решать

Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Определения

Простейшее тригонометрическое уравнение
Уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a.
Серия решений
Бесконечное множество корней, записываемое формулой с целым параметром n, потому что тригонометрические функции периодичны.

Объяснение

Тригонометрические функции периодичны, поэтому у таких уравнений бесконечно много корней. Записывают их не перечислением, а формулой с целым параметром n - серией решений.

Для синуса и косинуса значение a обязано лежать между −1 и 1. Если оно вне этого промежутка, решений нет: синус и косинус просто не принимают таких значений. Проверять это надо в первую очередь.

Уравнение sin x = a имеет решения x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn. Знакочередующийся множитель отражает симметрию синуса относительно вертикальной оси: на каждом периоде есть два подходящих угла.

Уравнение cos x = a решается как x = ±arccos a + 2πn. Здесь плюс-минус, потому что косинус симметричен относительно горизонтальной оси, а период 2π, а не π.

Уравнение tg x = a проще всех: x = arctg a + πn, без знакочередования и без плюс-минус. Причина в том, что тангенс имеет период π и на каждом периоде принимает каждое значение ровно один раз.

Частные случаи стоит помнить отдельно: sin x = 0 даёт x = πn, cos x = 0 даёт x = π/2 + πn, sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πn. Общие формулы для них тоже работают, но частная запись короче.

Проверять серию удобно подстановкой n = 0 и n = 1: оба полученных угла обязаны удовлетворять уравнению. Если второй угол не подходит, значит период в формуле взят неверно.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Проверьте, лежит ли значение в допустимых пределах.
  2. Определите, какая функция стоит в уравнении.
  3. Найдите главное значение через арксинус, арккосинус или арктангенс.
  4. Запишите серию по соответствующей формуле.
  5. Проверьте, подставив n = 0 и n = 1.

Разбор примеров

sin x = 1/2
  1. Значение в пределах от −1 до 1.
  2. arcsin(1/2) = π/6.
  3. Серия: x = (−1)ⁿ · π/6 + πn.
Ответ: x = (−1)ⁿ π/6 + πn
cos x = 0
  1. Это частный случай.
  2. Косинус равен нулю при x = π/2 плюс полуобороты.
Ответ: x = π/2 + πn
sin x = 2
  1. Значение больше единицы.
  2. Синус таких значений не принимает.
Ответ: решений нет

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Решите уравнение sin x = 1. Найдите наименьший положительный корень в градусах.
  1. Отмечаем на окружности точки, где sin x = 1.
  2. Наименьший подходящий угол: t = 90°, но корней бесконечно много — они повторяются через оборот.
  3. Наименьший положительный x = 90°.
Ответ: 90
2. Решите уравнение tg(x − 60°) = 1. Найдите наименьший положительный корень в градусах.
  1. Обозначим x − 60° за t, тогда tg t = 1.
  2. Наименьший подходящий угол: t = 45°, но корней бесконечно много — они повторяются через оборот.
  3. Наименьший положительный x = 105°.
Ответ: 105
3. Решите уравнение sin(2x + 30°) = −1. Найдите наименьший положительный корень в градусах.
  1. Обозначим 2x + 30° за t, тогда sin t = −1.
  2. Наименьший подходящий угол: t = 270°, но корней бесконечно много — они повторяются через оборот.
  3. Наименьший положительный x = 120°.
Ответ: 120
4. Решите уравнение sin(x + 30°) = −1. Найдите наименьший положительный корень в градусах.
  1. Обозначим x + 30° за t, тогда sin t = −1.
  2. Наименьший подходящий угол: t = 270°, но корней бесконечно много — они повторяются через оборот.
  3. Наименьший положительный x = 240°.
Ответ: 240
5. Решите уравнение cos(2x + 60°) = −1/2. Найдите наименьший положительный корень в градусах.
  1. Обозначим 2x + 60° за t, тогда cos t = −1/2.
  2. Наименьший подходящий угол: t = 120°, но корней бесконечно много — они повторяются через оборот.
  3. Наименьший положительный x = 30°.
Ответ: 30

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия: окружность и формулы»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия: окружность и формулы.