Арксинус, арккосинус, арктангенс: как решать

Вычислить арксинус, арккосинус или арктангенс.

Определения

Арксинус: Угол из промежутка от −π/2 до π/2, синус которого равен данному числу.
Арккосинус: Угол из промежутка от 0 до π, косинус которого равен данному числу.
Арктангенс: Угол из промежутка от −π/2 до π/2, тангенс которого равен данному числу.

Объяснение

Обратные тригонометрические функции отвечают на вопрос: какой угол даёт данное значение функции. Но таких углов бесконечно много из-за периодичности, поэтому договорились выбирать один - из строго заданного промежутка.

Для арксинуса и арктангенса это промежуток от −π/2 до π/2, для арккосинуса - от 0 до π. Эти промежутки выбраны так, чтобы функция на них принимала каждое значение ровно один раз.

Именно поэтому арккосинус отрицательного числа даёт тупой угол, а не отрицательный. Например, arccos(−1/2) равен 2π/3, а вовсе не −π/3: отрицательных значений в промежутке арккосинуса нет.

Арксинус же отрицательного числа отрицателен: arcsin(−1/2) = −π/6. Разница в поведении объясняется только выбором промежутков, и путать их нельзя.

Область определения арксинуса и арккосинуса - от −1 до 1. Записи arcsin 2 не существует, потому что синуса, равного двум, не бывает. У арктангенса ограничений нет: тангенс принимает любые значения.

Вычисляют обратные функции по таблице в обратную сторону: ищут табличный угол, дающий нужное значение, и проверяют, попадает ли он в нужный промежуток. Если нет - берут другой угол с тем же значением функции.

Полезные соотношения: арксинус и арккосинус одного числа в сумме дают π/2. Это следует из того, что синус угла равен косинусу дополнительного.

Правила и формулы

Арксинусarcsin a ∈ [−π/2; π/2]
Арккосинусarccos a ∈ [0; π]
Арктангенсarctg a ∈ (−π/2; π/2)
Область определениядля arcsin и arccos: −1 ≤ a ≤ 1
Соотношениеarcsin a + arccos a = π/2

Порядок действий

Проверьте, что значение допустимо для данной функции.
Найдите по таблице угол, дающий это значение.
Проверьте, попадает ли он в промежуток данной обратной функции.
Если нет, подберите другой угол с тем же значением функции.
Запишите ответ в радианах или градусах, как требует задача.

Разбор примеров

arcsin(1/2)

Синус равен 1/2 при 30 градусах, то есть π/6.
π/6 лежит в промежутке от −π/2 до π/2.

Ответ: π/6

arccos(−1/2)

Косинус равен −1/2 при 120 градусах, то есть 2π/3.
2π/3 лежит в промежутке от 0 до π.

Ответ: 2π/3

arctg 1

Тангенс равен 1 при 45 градусах, то есть π/4.
Значение попадает в нужный промежуток.

Ответ: π/4

Где обычно ошибаются

Дают отрицательный ответ для арккосинуса отрицательного числа.
Берут любой подходящий угол, не проверяя промежуток.
Пытаются вычислить арксинус числа больше единицы.

Примеры с решением

1. Вычислите arccos 0 в градусах.

arccos x — угол от 0° до 180°, косинус которого равен x. cos 90° = 0.
arccos 0 = 90°

Ответ: 90

2. Вычислите arctg (−√3) в градусах.

arctg x — угол от −90° до 90°, тангенс которого равен x. tg −60° = −√3.
arctg (−√3) = −60°

Ответ: -60

3. Вычислите arctg (−1) в градусах.

arctg x — угол от −90° до 90°, тангенс которого равен x. tg −45° = −1.
arctg (−1) = −45°

Ответ: -45

4. Вычислите arccos (−1/2) в градусах.

arccos x — угол от 0° до 180°, косинус которого равен x. cos 120° = −1/2.
arccos (−1/2) = 120°

Ответ: 120

5. Вычислите arccos (−√2/2) в градусах.

arccos x — угол от 0° до 180°, косинус которого равен x. cos 135° = −√2/2.
arccos (−√2/2) = 135°

Ответ: 135

Подсказки, если не получается

Обратная функция отвечает на вопрос: какой угол даёт это значение?
Главный промежуток здесь — от 0° до 180°, за него выходить нельзя.
arccos x — угол от 0° до 180°, косинус которого равен x. cos 90° = 0.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия: окружность и формулы»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия: окружность и формулы.