Тригонометрия: окружность и формулы
Косинус — абсцисса точки на единичной окружности, синус — её ордината.
Содержание
- Значения на тригонометрической окружностиНайти значение функции по тригонометрической окружности.
- Формулы приведенияПрименить формулу приведения.
- Формулы двойного углаПрименить формулы двойного угла.
- Тригонометрические уравненияРешить простейшее тригонометрическое уравнение.
- Арксинус, арккосинус, арктангенсВычислить арксинус, арккосинус или арктангенс.
Значения на тригонометрической окружности
Определения
- Единичная окружность
- Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Косинус угла - абсцисса точки на ней, синус - ордината.
- Четверти
- Четыре части координатной плоскости. Знаки синуса и косинуса в них разные, и это определяет знак ответа.
Объяснение
Единичная окружность превращает тригонометрию из набора формул в наглядную картинку. Точка на окружности, отвечающая углу, имеет координаты (cos α; sin α) - и всё поведение функций читается прямо с чертежа.
Отсюда сразу видно, почему синус и косинус не превосходят единицы по модулю: координаты точки на окружности радиуса 1 не могут быть больше радиуса.
Знаки функций в четвертях тоже читаются с картинки. В первой четверти обе координаты положительны, значит и синус, и косинус положительны. Во второй абсцисса отрицательна - косинус минус, синус плюс. В третьей обе отрицательны. В четвёртой косинус плюс, синус минус.
Запоминать знаки отдельным списком не нужно: достаточно представить, в какой стороне лежит точка. Направо - косинус положителен, вверх - синус положителен.
Углы больше 360 градусов приводят к основному промежутку вычитанием полных оборотов: точка на окружности та же самая. Отрицательные углы отсчитывают по часовой стрелке.
Значения в характерных точках стоит знать наизусть: при 0 градусов косинус 1, синус 0; при 90 наоборот; при 180 косинус −1, синус 0; при 270 косинус 0, синус −1. Все они читаются прямо с чертежа как координаты четырёх точек пересечения окружности с осями.
Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому он не определён там, где косинус равен нулю - при 90 и 270 градусах.
Правила и формулы
- Координаты точки
(cos α; sin α) - Ограничение
|sin α| ≤ 1, |cos α| ≤ 1 - Знаки по четвертям
I: + +, II: − +, III: − −, IV: + − - Характерные значения
cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 180° = −1, sin 270° = −1 - Тангенс не определён при cos α = 0
Порядок действий
- Приведите угол к промежутку от 0 до 360 градусов.
- Определите, в какой четверти лежит точка.
- Найдите знаки синуса и косинуса по расположению точки.
- Найдите модуль значения по табличным углам.
- Соедините знак и модуль.
Разбор примеров
- Точка лежит на отрицательной части оси абсцисс.
- Её координаты (−1; 0).
- Косинус - абсцисса.
- Точка внизу, координаты (0; −1).
- Синус - ордината.
- 200° лежит в третьей четверти.
- Там ордината отрицательна.
Где обычно ошибаются
- Путают синус с косинусом: берут абсциссу вместо ординаты.
- Ошибаются со знаком, не определив четверть.
- Считают тангенс определённым при угле 90 градусов.
Формулы приведения
Определения
- Формулы приведения
- Правила, сводящие тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла.
- Правило нечётной четверти
- При углах 90° ± α и 270° ± α функция меняется на кофункцию: синус на косинус и наоборот. При 180° ± α и 360° ± α функция сохраняется.
Объяснение
Формул приведения много, и заучивать их списком бессмысленно. Есть правило из двух шагов, восстанавливающее любую из них.
Первый шаг - решить, меняется ли функция. Если угол отсчитывается от 90 или 270 градусов, функция меняется на кофункцию: синус становится косинусом, тангенс котангенсом. Если от 180 или 360 - функция остаётся прежней. Мнемоника простая: 90 и 270 стоят на вертикальной оси, там функция «поворачивается».
Второй шаг - определить знак. Для этого смотрят, в какой четверти лежит исходный угол, и берут знак ИСХОДНОЙ функции в этой четверти, считая α острым.
Разберём sin(180° − α). Угол отсчитывается от 180, значит функция не меняется - остаётся синус. При остром α угол 180° − α лежит во второй четверти, где синус положителен. Значит sin(180° − α) = sin α.
Другой пример: cos(90° + α). Отсчёт от 90 - функция меняется на синус. Угол 90° + α лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит cos(90° + α) = −sin α.
Проверять результат удобно подстановкой конкретного угла. Возьмём α = 30: cos 120° действительно равен −0,5, и −sin 30° тоже равен −0,5. Одна такая проверка надёжнее, чем перечитывание правила.
Формулы приведения нужны, чтобы свести любое выражение к функциям острых углов, значения которых есть в таблице. Это их единственное назначение, и потому применяют их всегда в одну сторону - к упрощению.
Правила и формулы
- От 90° и 270° функция меняется на кофункцию
- От 180° и 360° функция сохраняется
- Знак берут по четверти исходной функции
- Пример
sin(180° − α) = sin α - Пример
cos(90° + α) = −sin α
Порядок действий
- Посмотрите, от какого угла ведётся отсчёт: 90, 180, 270 или 360.
- При 90 и 270 замените функцию на кофункцию, при 180 и 360 оставьте.
- Определите четверть, в которой лежит исходный угол при остром α.
- Возьмите знак исходной функции в этой четверти.
- Проверьте результат подстановкой конкретного угла.
Разбор примеров
- Отсчёт от 180 - функция не меняется.
- Угол во второй четверти, синус там положителен.
- Отсчёт от 90 - косинус меняется на синус.
- Угол во второй четверти, косинус там отрицателен.
- Отсчёт от 180 - функция сохраняется.
- Третья четверть, косинус отрицателен.
Где обычно ошибаются
- Меняют функцию при отсчёте от 180 градусов.
- Берут знак получившейся функции вместо исходной.
- Определяют четверть по преобразованному выражению, а не по исходному углу.
Формулы двойного угла
Определения
- Формулы двойного угла
- Тождества, выражающие функции угла 2α через функции угла α.
Объяснение
Формулы двойного угла нужны, чтобы свести функцию удвоенного аргумента к функциям обычного - или наоборот, свернуть выражение в компактный вид.
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус: sin 2α = 2 sin α cos α. Множитель 2 здесь не украшение - без него формула неверна, и его чаще всего теряют.
Косинус двойного угла имеет три равносильные записи: cos²α − sin²α, или 2cos²α − 1, или 1 − 2sin²α. Все три получаются друг из друга с помощью основного тождества, и выбирают ту, что удобнее в конкретной задаче.
Выбор записи диктуется тем, что известно. Если дан синус, берут форму 1 − 2sin²α - тогда косинус не понадобится. Если дан косинус, берут 2cos²α − 1.
Разберём: пусть sin α = 0,6, найти sin 2α. Из основного тождества cos α = 0,8. Тогда sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.
Формулы работают в обе стороны. Выражение 2 sin 15° cos 15° сворачивается в sin 30° = 0,5, и считать ничего не приходится. Умение узнавать формулу в свёрнутом виде экономит много времени.
Проверять полезно подстановкой конкретного угла: возьмите α = 30 и сравните левую и правую части численно. Эта проверка отсеивает и потерянный множитель, и перепутанный знак, а занимает меньше времени, чем повторный вывод формулы.
Правила и формулы
- Синус двойного угла
sin 2α = 2 sin α cos α - Косинус двойного угла
cos 2α = cos²α − sin²α - Через косинус
cos 2α = 2cos²α − 1 - Через синус
cos 2α = 1 − 2sin²α - Формулы работают в обе стороны
Порядок действий
- Определите, что известно: синус, косинус или оба.
- Выберите форму формулы, где нужно только известное.
- Если требуется вторая функция, найдите её по основному тождеству.
- Подставьте значения и вычислите.
- Проверьте результат подстановкой конкретного угла.
Разбор примеров
- Находим косинус: cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, значит cos α = 0,8.
- sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8.
- Получается 0,96.
- Берём форму 1 − 2sin²α.
- 1 − 2 · 0,36 = 1 − 0,72.
- Получается 0,28.
- Это формула синуса двойного угла.
- Получаем sin 30°.
- sin 30° = 0,5.
Где обычно ошибаются
- Забывают множитель 2 в формуле синуса двойного угла.
- Пишут cos 2α = cos²α + sin²α - это единица, а не косинус двойного угла.
- Выбирают форму записи, требующую неизвестной функции.
Тригонометрические уравнения
Определения
- Простейшее тригонометрическое уравнение
- Уравнение вида sin x = a, cos x = a или tg x = a.
- Серия решений
- Бесконечное множество корней, записываемое формулой с целым параметром n, потому что тригонометрические функции периодичны.
Объяснение
Тригонометрические функции периодичны, поэтому у таких уравнений бесконечно много корней. Записывают их не перечислением, а формулой с целым параметром n - серией решений.
Для синуса и косинуса значение a обязано лежать между −1 и 1. Если оно вне этого промежутка, решений нет: синус и косинус просто не принимают таких значений. Проверять это надо в первую очередь.
Уравнение sin x = a имеет решения x = (−1)ⁿ · arcsin a + πn. Знакочередующийся множитель отражает симметрию синуса относительно вертикальной оси: на каждом периоде есть два подходящих угла.
Уравнение cos x = a решается как x = ±arccos a + 2πn. Здесь плюс-минус, потому что косинус симметричен относительно горизонтальной оси, а период 2π, а не π.
Уравнение tg x = a проще всех: x = arctg a + πn, без знакочередования и без плюс-минус. Причина в том, что тангенс имеет период π и на каждом периоде принимает каждое значение ровно один раз.
Частные случаи стоит помнить отдельно: sin x = 0 даёт x = πn, cos x = 0 даёт x = π/2 + πn, sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πn. Общие формулы для них тоже работают, но частная запись короче.
Проверять серию удобно подстановкой n = 0 и n = 1: оба полученных угла обязаны удовлетворять уравнению. Если второй угол не подходит, значит период в формуле взят неверно.
Правила и формулы
- Условие существования
для sin и cos: −1 ≤ a ≤ 1 - Синус
x = (−1)ⁿ arcsin a + πn - Косинус
x = ±arccos a + 2πn - Тангенс
x = arctg a + πn - Частные случаи
sin x = 0 → x = πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn
Порядок действий
- Проверьте, лежит ли значение в допустимых пределах.
- Определите, какая функция стоит в уравнении.
- Найдите главное значение через арксинус, арккосинус или арктангенс.
- Запишите серию по соответствующей формуле.
- Проверьте, подставив n = 0 и n = 1.
Разбор примеров
- Значение в пределах от −1 до 1.
- arcsin(1/2) = π/6.
- Серия: x = (−1)ⁿ · π/6 + πn.
- Это частный случай.
- Косинус равен нулю при x = π/2 плюс полуобороты.
- Значение больше единицы.
- Синус таких значений не принимает.
Где обычно ошибаются
- Записывают один корень вместо серии, теряя периодичность.
- Путают формулы для синуса и косинуса.
- Решают уравнение при значении вне промежутка от −1 до 1.
Арксинус, арккосинус, арктангенс
Определения
- Арксинус
- Угол из промежутка от −π/2 до π/2, синус которого равен данному числу.
- Арккосинус
- Угол из промежутка от 0 до π, косинус которого равен данному числу.
- Арктангенс
- Угол из промежутка от −π/2 до π/2, тангенс которого равен данному числу.
Объяснение
Обратные тригонометрические функции отвечают на вопрос: какой угол даёт данное значение функции. Но таких углов бесконечно много из-за периодичности, поэтому договорились выбирать один - из строго заданного промежутка.
Для арксинуса и арктангенса это промежуток от −π/2 до π/2, для арккосинуса - от 0 до π. Эти промежутки выбраны так, чтобы функция на них принимала каждое значение ровно один раз.
Именно поэтому арккосинус отрицательного числа даёт тупой угол, а не отрицательный. Например, arccos(−1/2) равен 2π/3, а вовсе не −π/3: отрицательных значений в промежутке арккосинуса нет.
Арксинус же отрицательного числа отрицателен: arcsin(−1/2) = −π/6. Разница в поведении объясняется только выбором промежутков, и путать их нельзя.
Область определения арксинуса и арккосинуса - от −1 до 1. Записи arcsin 2 не существует, потому что синуса, равного двум, не бывает. У арктангенса ограничений нет: тангенс принимает любые значения.
Вычисляют обратные функции по таблице в обратную сторону: ищут табличный угол, дающий нужное значение, и проверяют, попадает ли он в нужный промежуток. Если нет - берут другой угол с тем же значением функции.
Полезные соотношения: арксинус и арккосинус одного числа в сумме дают π/2. Это следует из того, что синус угла равен косинусу дополнительного.
Правила и формулы
- Арксинус
arcsin a ∈ [−π/2; π/2] - Арккосинус
arccos a ∈ [0; π] - Арктангенс
arctg a ∈ (−π/2; π/2) - Область определения
для arcsin и arccos: −1 ≤ a ≤ 1 - Соотношение
arcsin a + arccos a = π/2
Порядок действий
- Проверьте, что значение допустимо для данной функции.
- Найдите по таблице угол, дающий это значение.
- Проверьте, попадает ли он в промежуток данной обратной функции.
- Если нет, подберите другой угол с тем же значением функции.
- Запишите ответ в радианах или градусах, как требует задача.
Разбор примеров
- Синус равен 1/2 при 30 градусах, то есть π/6.
- π/6 лежит в промежутке от −π/2 до π/2.
- Косинус равен −1/2 при 120 градусах, то есть 2π/3.
- 2π/3 лежит в промежутке от 0 до π.
- Тангенс равен 1 при 45 градусах, то есть π/4.
- Значение попадает в нужный промежуток.
Где обычно ошибаются
- Дают отрицательный ответ для арккосинуса отрицательного числа.
- Берут любой подходящий угол, не проверяя промежуток.
- Пытаются вычислить арксинус числа больше единицы.
Пример с решением
- Угол 135° лежит во II четверти.
- ctg 135° = −1
- 120° и 2π/3 — один и тот же угол: развёрнутый угол π равен 180°.
- cos (2π/3) = −0,5
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.