Формулы приведения: как решать
Применить формулу приведения.
Определения
- Формулы приведения
- Правила, сводящие тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла.
- Правило нечётной четверти
- При углах 90° ± α и 270° ± α функция меняется на кофункцию: синус на косинус и наоборот. При 180° ± α и 360° ± α функция сохраняется.
Объяснение
Формул приведения много, и заучивать их списком бессмысленно. Есть правило из двух шагов, восстанавливающее любую из них.
Первый шаг - решить, меняется ли функция. Если угол отсчитывается от 90 или 270 градусов, функция меняется на кофункцию: синус становится косинусом, тангенс котангенсом. Если от 180 или 360 - функция остаётся прежней. Мнемоника простая: 90 и 270 стоят на вертикальной оси, там функция «поворачивается».
Второй шаг - определить знак. Для этого смотрят, в какой четверти лежит исходный угол, и берут знак ИСХОДНОЙ функции в этой четверти, считая α острым.
Разберём sin(180° − α). Угол отсчитывается от 180, значит функция не меняется - остаётся синус. При остром α угол 180° − α лежит во второй четверти, где синус положителен. Значит sin(180° − α) = sin α.
Другой пример: cos(90° + α). Отсчёт от 90 - функция меняется на синус. Угол 90° + α лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит cos(90° + α) = −sin α.
Проверять результат удобно подстановкой конкретного угла. Возьмём α = 30: cos 120° действительно равен −0,5, и −sin 30° тоже равен −0,5. Одна такая проверка надёжнее, чем перечитывание правила.
Формулы приведения нужны, чтобы свести любое выражение к функциям острых углов, значения которых есть в таблице. Это их единственное назначение, и потому применяют их всегда в одну сторону - к упрощению.
Правила и формулы
- От 90° и 270° функция меняется на кофункцию
- От 180° и 360° функция сохраняется
- Знак берут по четверти исходной функции
- Пример
sin(180° − α) = sin α - Пример
cos(90° + α) = −sin α
Порядок действий
- Посмотрите, от какого угла ведётся отсчёт: 90, 180, 270 или 360.
- При 90 и 270 замените функцию на кофункцию, при 180 и 360 оставьте.
- Определите четверть, в которой лежит исходный угол при остром α.
- Возьмите знак исходной функции в этой четверти.
- Проверьте результат подстановкой конкретного угла.
Разбор примеров
- Отсчёт от 180 - функция не меняется.
- Угол во второй четверти, синус там положителен.
- Отсчёт от 90 - косинус меняется на синус.
- Угол во второй четверти, косинус там отрицателен.
- Отсчёт от 180 - функция сохраняется.
- Третья четверть, косинус отрицателен.
Где обычно ошибаются
- Меняют функцию при отсчёте от 180 градусов.
- Берут знак получившейся функции вместо исходной.
- Определяют четверть по преобразованному выражению, а не по исходному углу.
Примеры с решением
- Основание 630° нечётно кратно 90°, поэтому функция меняется на кофункцию.
- sin(630° − α) = −cos α
- sin(630° − 60°) = −cos 60° = −0,5
- Основание 90° нечётно кратно 90°, поэтому функция меняется на кофункцию.
- ctg(90° + α) = −tg α
- ctg(90° + 45°) = −tg 45° = −1
- Основание 630° нечётно кратно 90°, поэтому функция меняется на кофункцию.
- tg(630° − α) = ctg α
- tg(630° − 45°) = ctg 45° = 1
- Основание 90° нечётно кратно 90°, поэтому функция меняется на кофункцию.
- tg(90° + α) = −ctg α
- tg(90° + 45°) = −ctg 45° = −1
- Основание 720° кратно 180°, поэтому функция сохраняется.
- tg(720° + α) = tg α
- tg(720° + 45°) = tg 45° = 1
Подсказки, если не получается
- Здесь работает формула приведения.
- У 90° и 270° синус переходит в косинус и обратно; у 180° и 360° функция та же.
- sin(630° − α) = −cos α
Другие темы раздела «Тригонометрия: окружность и формулы»
- Значения на тригонометрической окружности
- Формулы двойного угла
- Тригонометрические уравнения
- Арксинус, арккосинус, арктангенс
Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия: окружность и формулы.