Формулы двойного угла: как решать

Применить формулы двойного угла.

Определения

Формулы двойного угла: Тождества, выражающие функции угла 2α через функции угла α.

Объяснение

Формулы двойного угла нужны, чтобы свести функцию удвоенного аргумента к функциям обычного - или наоборот, свернуть выражение в компактный вид.

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус: sin 2α = 2 sin α cos α. Множитель 2 здесь не украшение - без него формула неверна, и его чаще всего теряют.

Косинус двойного угла имеет три равносильные записи: cos²α − sin²α, или 2cos²α − 1, или 1 − 2sin²α. Все три получаются друг из друга с помощью основного тождества, и выбирают ту, что удобнее в конкретной задаче.

Выбор записи диктуется тем, что известно. Если дан синус, берут форму 1 − 2sin²α - тогда косинус не понадобится. Если дан косинус, берут 2cos²α − 1.

Разберём: пусть sin α = 0,6, найти sin 2α. Из основного тождества cos α = 0,8. Тогда sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.

Формулы работают в обе стороны. Выражение 2 sin 15° cos 15° сворачивается в sin 30° = 0,5, и считать ничего не приходится. Умение узнавать формулу в свёрнутом виде экономит много времени.

Проверять полезно подстановкой конкретного угла: возьмите α = 30 и сравните левую и правую части численно. Эта проверка отсеивает и потерянный множитель, и перепутанный знак, а занимает меньше времени, чем повторный вывод формулы.

Правила и формулы

Синус двойного углаsin 2α = 2 sin α cos α
Косинус двойного углаcos 2α = cos²α − sin²α
Через косинусcos 2α = 2cos²α − 1
Через синусcos 2α = 1 − 2sin²α
Формулы работают в обе стороны

Порядок действий

Определите, что известно: синус, косинус или оба.
Выберите форму формулы, где нужно только известное.
Если требуется вторая функция, найдите её по основному тождеству.
Подставьте значения и вычислите.
Проверьте результат подстановкой конкретного угла.

Разбор примеров

sin α = 0,6, угол острый. Найти sin 2α.

Находим косинус: cos²α = 1 − 0,36 = 0,64, значит cos α = 0,8.
sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8.
Получается 0,96.

Ответ: 0,96

sin α = 0,6. Найти cos 2α.

Берём форму 1 − 2sin²α.
1 − 2 · 0,36 = 1 − 0,72.
Получается 0,28.

Ответ: 0,28

Упростить 2 sin 15° cos 15°

Это формула синуса двойного угла.
Получаем sin 30°.
sin 30° = 0,5.

Ответ: 0,5

Где обычно ошибаются

Забывают множитель 2 в формуле синуса двойного угла.
Пишут cos 2α = cos²α + sin²α - это единица, а не косинус двойного угла.
Выбирают форму записи, требующую неизвестной функции.

Примеры с решением

1. Острый угол α таков, что sin α = 16/65, cos α = 63/65. Найдите cos 2α.

cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 3969/4225 − 256/4225 = 3713/4225
cos 2α = 3713/4225

Ответ: 3713/4225

2. Острый угол α таков, что sin α = 9/41, cos α = 40/41. Найдите cos 2α.

cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 1600/1681 − 81/1681 = 1519/1681
cos 2α = 1519/1681

Ответ: 1519/1681

3. Острый угол α таков, что sin α = 3/5, cos α = 4/5. Найдите cos 2α.

cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 16/25 − 9/25 = 7/25
cos 2α = 7/25

Ответ: 7/25

4. Острый угол α таков, что sin α = 12/13, cos α = 5/13. Найдите cos 2α.

cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 25/169 − 144/169 = −119/169
cos 2α = -119/169

Ответ: -119/169

5. Острый угол α таков, что sin α = 40/41, cos α = 9/41. Найдите cos 2α.

cos 2α = cos²α − sin²α
cos 2α = 81/1681 − 1600/1681 = −1519/1681
cos 2α = -1519/1681

Ответ: -1519/1681

Подсказки, если не получается

Это формула двойного угла.
cos 2α = cos²α − sin²α
Возведите обе дроби в квадрат и вычтите.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия: окружность и формулы»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия: окружность и формулы.