Задачи на проценты: как решать

Задача на изменение величины в процентах.

Определения

Коэффициент изменения: Число, на которое умножают величину при изменении на данный процент. Рост на 20 % даёт коэффициент 1,2, снижение на 20 % - коэффициент 0,8.
Последовательные изменения: Несколько изменений подряд, каждое от нового значения. Их коэффициенты перемножаются.

Объяснение

Задачи на изменение в процентах решаются гораздо быстрее, если пользоваться коэффициентом, а не считать процент отдельно и потом прибавлять или вычитать. Приём один и тот же для роста и для снижения.

Если величина выросла на 20 %, она стала составлять 120 % от прежней, то есть умножилась на 1,2. Если снизилась на 20 %, стала 80 % от прежней, то есть умножилась на 0,8. Один шаг вместо двух, и меньше поводов ошибиться.

Главное преимущество коэффициента - в задачах с несколькими изменениями. Цена выросла на 20 %, потом снизилась на 20 %: коэффициенты 1,2 и 0,8 перемножаются, давая 0,96. Значит итоговая цена составляет 96 % от исходной, то есть она снизилась на 4 %, а вовсе не вернулась к прежней.

Почему не вернулась? Потому что базы разные. Рост считался от исходной цены, а снижение - уже от выросшей, и двадцать процентов от большего числа больше, чем от меньшего. Это самая известная ловушка темы, и коэффициенты снимают её автоматически.

Обратная задача - восстановить исходное значение по конечному - решается делением на коэффициент. Если после подорожания на 20 % цена стала 600 рублей, то исходная равна 600 : 1,2 = 500 рублей. Здесь особенно легко ошибиться, вычтя 20 % от новой цены: получится 480, и это неверно.

Проверять надо прямым ходом: возьмите найденное исходное значение и примените к нему изменение из условия. Если получилось конечное значение из условия, ответ верный.

Правила и формулы

Рост на p процентовумножить на (1 + p/100)
Снижение на p процентовумножить на (1 − p/100)
Последовательные изменения - коэффициенты перемножаются1,2 · 0,8 = 0,96
Обратная задача - деление на коэффициент600 : 1,2 = 500
Рост и такое же снижение не возвращают к исходному

Порядок действий

Определите, растёт величина или уменьшается.
Составьте коэффициент: единица плюс или минус доля процента.
Для нескольких изменений перемножьте коэффициенты.
Умножьте на коэффициент, если ищете конечное значение, и разделите, если ищете исходное.
Проверьте прямым ходом.

Разбор примеров

Цена 500 руб. выросла на 20 %. Какой стала?

Коэффициент роста: 1 + 0,2 = 1,2.
500 · 1,2 = 600

Ответ: 600 руб.

Цена выросла на 20 %, потом снизилась на 20 %. Как изменилась итого?

Коэффициенты: 1,2 и 0,8.
Перемножаем: 1,2 · 0,8 = 0,96.
Итог составляет 96 % от исходной.

Ответ: снизилась на 4 %

После подорожания на 20 % цена стала 600 руб. Какой была?

Коэффициент: 1,2.
Делим: 600 : 1,2 = 500.
Проверка: 500 · 1,2 = 600.

Ответ: 500 руб.

Где обычно ошибаются

Считают, что рост на 20 % и снижение на 20 % возвращают к исходной величине.
В обратной задаче вычитают процент от нового значения вместо деления на коэффициент.
Складывают проценты последовательных изменений вместо перемножения коэффициентов.

Примеры с решением

1. Товар стоил 500 ₽. Скидка 40%. Сколько стоит товар после скидки?

Скидка: 500 · 40 : 100 = 200 ₽
Новая цена: 500 − 200 = 300 ₽

Ответ: 300

2. 50% от задуманного числа равны 150. Найдите это число.

150 : 50 = 3
3 · 100 = 300

Ответ: 300

3. Товар стоил 600 ₽. Скидка 15%. Сколько стоит товар после скидки?

Скидка: 600 · 15 : 100 = 90 ₽
Новая цена: 600 − 90 = 510 ₽

Ответ: 510

4. 25% от задуманного числа равны 90. Найдите это число.

90 : 25 = 3,6
3,6 · 100 = 360

Ответ: 360

5. Товар стоил 800 ₽. Скидка 40%. Сколько стоит товар после скидки?

Скидка: 800 · 40 : 100 = 320 ₽
Новая цена: 800 − 320 = 480 ₽

Ответ: 480

Подсказки, если не получается

Скидка — это процент от старой цены.
Найди 40% от 500.
Вычти 200 из 500.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Проценты»

Полная справка по разделу — на странице Проценты.