Проценты
Процент — сотая часть числа. 1% = 0,01; 100% = 1; 150% = 1,5.
Содержание
- Часть от целогоВыразить, какую часть одно число составляет от другого.
- Процент от числаНайти указанный процент от числа.
- Число по его процентуНайти число по его проценту.
- Выражение числа в процентахВыразить одно число в процентах от другого.
- Задачи на процентыЗадача на изменение величины в процентах.
Часть от целого
Определения
- Процент
- Одна сотая часть числа. Один процент от 200 равен 2, потому что 200 : 100 = 2.
- Часть от целого
- Отношение части к целому, записанное дробью. Число 15 составляет от 60 часть, равную 15/60 = 1/4.
Объяснение
Вопрос «какую часть одно число составляет от другого» звучит абстрактно, но встречается постоянно: какую долю бюджета съедает аренда, какую часть класса составляют мальчики, какую долю пути уже прошли.
Ответ находят делением: часть делят на целое. Число 15 от 60 составляет 15 : 60 = 1/4, то есть четверть. Порядок здесь важен и определяется словом «от»: то, что стоит после «от», - целое, и оно идёт в знаменатель.
Полученную дробь сокращают. Ответ 15/60 формально верен, но 1/4 понятнее и является стандартной формой записи. Если дробь получилась неправильной, значит первое число больше второго - такое тоже бывает, и тогда часть больше единицы.
Ту же долю можно выразить в процентах, умножив на сто. Четверть - это 25 процентов. Переход между дробью и процентом односторонний и простой: доля, умноженная на 100, даёт проценты; проценты, делённые на 100, дают долю.
Отличать эту задачу от обратной помогает вопрос: что известно. Здесь известны оба числа - и часть, и целое, - а найти надо их отношение. Если же известно целое и доля, а найти надо часть, это уже другая задача, и решается она умножением.
Проверка простая: возьмите найденную долю от целого и посмотрите, получится ли исходная часть. Четверть от 60 равна 15 - сходится.
Правила и формулы
- Часть от целого находят делением
доля = часть : целое - Пример
15 от 60: 15 : 60 = 1/4 - Целое стоит после слова «от»
- Долю переводят в проценты умножением на 100
1/4 = 25 % - Результат сокращают до несократимой дроби
Порядок действий
- Определите, какое число целое: оно стоит после слова «от».
- Разделите часть на целое.
- Сократите полученную дробь.
- При необходимости переведите в проценты, умножив на 100.
- Проверьте: возьмите найденную долю от целого.
Разбор примеров
- Целое - 60, оно стоит после «от».
- 15 : 60 = 15/60.
- Сокращаем на 15: 1/4.
- Целое - 12.
- 8 : 12 = 8/12.
- Сокращаем на 4: 2/3.
- Доля равна 1/4.
- Умножаем на 100: 1/4 · 100 = 25.
Где обычно ошибаются
- Делят целое на часть и получают перевёрнутый ответ.
- Забывают сократить дробь.
- Путают эту задачу с нахождением части от числа и умножают вместо деления.
Процент от числа
Определения
- Процент
- Сотая доля числа, обозначается знаком %. Запись 20 % означает 20/100, то есть 0,2.
- Процент от числа
- Результат умножения числа на соответствующую десятичную дробь: 20 % от 350 равно 350 · 0,2 = 70.
Объяснение
Процент - это просто сотая доля, и вся тема сводится к работе с дробью со знаменателем сто. Запись «20 процентов» означает 20/100, а это то же самое, что 0,2 или 1/5. Поняв это, можно не заучивать отдельные правила для процентов - они все следуют из правил для дробей.
Найти процент от числа - значит найти часть от числа, где часть задана сотыми долями. Действие то же самое: умножение. Двадцать процентов от 350 равны 350 · 0,2 = 70.
Перевод процента в десятичную дробь делают делением на сто, то есть переносом запятой на два знака влево: 20 % = 0,2; 7 % = 0,07; 125 % = 1,25. Этот шаг обязателен: умножать на 20 вместо 0,2 - самая частая ошибка в теме, и ответ получается в сто раз больше.
Некоторые проценты удобнее считать через дроби, а не через десятичные. Пятьдесят процентов - это половина, 25 % - четверть, 10 % - десятая часть, 20 % - пятая. Найти 25 % от 80 быстрее делением на 4, чем умножением на 0,25.
Проценты больше ста тоже встречаются и не означают ошибки. Сто пятьдесят процентов от числа - это полтора числа. Такое бывает в задачах на рост цен и на перевыполнение плана.
Проверять надо прикидкой. Десять процентов - это примерно десятая часть, значит от 350 будет около 35. Если требуется 20 %, ответ обязан быть около семидесяти. Результат 7 или 700 сразу выдаёт ошибку в переводе процента.
Правила и формулы
- Процент - сотая доля
20 % = 20/100 = 0,2 - Процент от числа находят умножением
20 % от 350 = 350 · 0,2 = 70 - Перевод процента в дробь - деление на 100
7 % = 0,07 - Удобные соответствия
50 % = 1/2; 25 % = 1/4; 20 % = 1/5; 10 % = 1/10 - Проценты больше ста означают число больше исходного
150 % от 40 = 60
Порядок действий
- Переведите процент в десятичную дробь, разделив на сто.
- Проверьте, нет ли удобного дробного соответствия.
- Умножьте число на полученную дробь.
- При необходимости округлите ответ.
- Проверьте прикидкой через десять процентов.
Разбор примеров
- Переводим: 20 % = 0,2.
- 350 · 0,2 = 70.
- Прикидка: 10 % это 35, значит 20 % это 70.
- 25 % - это четверть.
- 80 : 4 = 20
- Переводим: 7 % = 0,07.
- 200 · 0,07 = 14
Где обычно ошибаются
- Умножают на само число процентов, а не на дробь: получают ответ в сто раз больше.
- При переводе переносят запятую на один знак вместо двух.
- Считают, что процент всегда меньше числа: 150 % даёт больше исходного.
Число по его проценту
Определения
- Обратная задача на проценты
- Задача, в которой известна часть и сколько процентов она составляет, а найти надо целое. Решается делением.
Объяснение
Эта задача обратна предыдущей, и, как всегда с обратными задачами, главная трудность - распознать её. Там было известно целое и требовалось найти часть; здесь известна часть, а целое надо восстановить.
Признак обратной задачи в формулировке: «это составляет 20 % от числа», «20 % числа равны 70». Целое здесь неизвестно, и именно его ищут. Если в условии есть число, от которого берут процент, - задача прямая.
Решается делением: целое равно части, делённой на долю. Если 20 % числа равны 70, то число равно 70 : 0,2 = 350. Проверить можно сразу: 20 % от 350 действительно равны 70.
Есть и пошаговый путь, часто более понятный. Если 20 % составляют 70, то 1 % составляет 70 : 20 = 3,5, а всё число - это 100 %, то есть 3,5 · 100 = 350. Такой ход через один процент нагляднее и хорошо работает, когда проценты некруглые.
Деление на десятичную дробь меньше единицы увеличивает число, и это правильно: целое обязано быть больше своей части, если процент меньше ста. Если ответ вышел меньше известной части, значит действия перепутаны.
Проверка занимает секунду и её стоит делать всегда: найдите тот же процент от полученного числа. Если получилась исходная часть, ответ верный. Такая проверка ловит и самую частую ошибку темы - решение обратной задачи как прямой.
Правила и формулы
- Целое находят делением
целое = часть : доля - Пример
если 20 % числа равны 70, то число = 70 : 0,2 = 350 - Путь через один процент
70 : 20 = 3,5, затем 3,5 · 100 = 350 - При проценте меньше ста целое больше части
- Проверка: найдите тот же процент от ответа
Порядок действий
- Убедитесь, что целое неизвестно, - иначе задача прямая.
- Переведите процент в десятичную дробь.
- Разделите известную часть на эту дробь.
- Либо найдите один процент делением и умножьте на сто.
- Проверьте: возьмите тот же процент от найденного числа.
Разбор примеров
- Переводим: 20 % = 0,2.
- 70 : 0,2 = 350.
- Проверка: 350 · 0,2 = 70.
- Один процент: 45 : 15 = 3.
- Всё число: 3 · 100 = 300.
- Проверка: 300 · 0,15 = 45.
- Переводим: 40 % = 0,4.
- 24 : 0,4 = 60.
Где обычно ошибаются
- Решают как прямую задачу и умножают вместо деления.
- Получают ответ меньше известной части, хотя процент был меньше ста.
- В способе через один процент умножают на число процентов вместо ста.
Выражение числа в процентах
Определения
- Процентное отношение
- Отношение одного числа к другому, выраженное в процентах: отношение 15 к 60 равно 25 %.
- База сравнения
- Число, от которого считают проценты. Оно стоит после слова «от» и всегда принимается за 100 %.
Объяснение
Задача выглядит как «сколько процентов составляет одно число от другого», и решается она в два шага: сначала находят долю делением, потом переводят долю в проценты умножением на сто.
Первый шаг - деление части на целое, ровно как при нахождении доли. Число 15 от 60 даёт 15 : 60 = 0,25. Второй шаг - умножение на сто: 0,25 · 100 = 25, значит 15 составляет 25 % от 60.
Оба действия можно объединить в одну формулу: процент равен части, делённой на целое и умноженной на сто. Но понимать её лучше как два отдельных шага - тогда меньше шансов перепутать, что на что делить.
Ключевой вопрос темы - что взято за базу, то есть за 100 %. База всегда стоит после слова «от». Одно и то же изменение даёт разные проценты в зависимости от базы: рост с 40 до 50 - это плюс 25 % от сорока, а падение с 50 до 40 - это минус 20 % от пятидесяти. Числа изменения одинаковы, а проценты разные, потому что базы разные.
Из этого следует важное практическое замечание: проценты нельзя складывать и вычитать, не проверив базу. Скидка 20 %, а потом ещё 20 % - это не 40 % скидки, потому что второй раз процент считается уже от уменьшенной цены.
Проверять удобно обратным ходом: возьмите найденный процент от базы и посмотрите, получится ли исходное число. Это ловит и ошибку в делении, и ошибку в выборе базы.
Правила и формулы
- Процентное отношение
процент = часть : целое · 100 - Пример
15 от 60: 15 : 60 · 100 = 25 % - База стоит после слова «от» и равна 100 %
- При разных базах одно и то же изменение даёт разные проценты
40 → 50 это +25 %, 50 → 40 это −20 % - Проценты от разных баз складывать нельзя
Порядок действий
- Определите базу - число после слова «от».
- Разделите первое число на базу.
- Умножьте результат на сто.
- Округлите, если требуется.
- Проверьте: возьмите найденный процент от базы.
Разбор примеров
- База - 60.
- 15 : 60 = 0,25.
- 0,25 · 100 = 25
- База - исходное число 40.
- Прирост: 50 − 40 = 10.
- 10 : 40 · 100 = 25
- База - исходное число 50.
- Убыль: 50 − 40 = 10.
- 10 : 50 · 100 = 20
Где обычно ошибаются
- Берут за базу не то число: считают процент роста от нового значения вместо старого.
- Забывают умножить долю на сто и дают ответ 0,25 % вместо 25 %.
- Складывают последовательные проценты, не проверив, от какой базы каждый считается.
Задачи на проценты
Определения
- Коэффициент изменения
- Число, на которое умножают величину при изменении на данный процент. Рост на 20 % даёт коэффициент 1,2, снижение на 20 % - коэффициент 0,8.
- Последовательные изменения
- Несколько изменений подряд, каждое от нового значения. Их коэффициенты перемножаются.
Объяснение
Задачи на изменение в процентах решаются гораздо быстрее, если пользоваться коэффициентом, а не считать процент отдельно и потом прибавлять или вычитать. Приём один и тот же для роста и для снижения.
Если величина выросла на 20 %, она стала составлять 120 % от прежней, то есть умножилась на 1,2. Если снизилась на 20 %, стала 80 % от прежней, то есть умножилась на 0,8. Один шаг вместо двух, и меньше поводов ошибиться.
Главное преимущество коэффициента - в задачах с несколькими изменениями. Цена выросла на 20 %, потом снизилась на 20 %: коэффициенты 1,2 и 0,8 перемножаются, давая 0,96. Значит итоговая цена составляет 96 % от исходной, то есть она снизилась на 4 %, а вовсе не вернулась к прежней.
Почему не вернулась? Потому что базы разные. Рост считался от исходной цены, а снижение - уже от выросшей, и двадцать процентов от большего числа больше, чем от меньшего. Это самая известная ловушка темы, и коэффициенты снимают её автоматически.
Обратная задача - восстановить исходное значение по конечному - решается делением на коэффициент. Если после подорожания на 20 % цена стала 600 рублей, то исходная равна 600 : 1,2 = 500 рублей. Здесь особенно легко ошибиться, вычтя 20 % от новой цены: получится 480, и это неверно.
Проверять надо прямым ходом: возьмите найденное исходное значение и примените к нему изменение из условия. Если получилось конечное значение из условия, ответ верный.
Правила и формулы
- Рост на p процентов
умножить на (1 + p/100) - Снижение на p процентов
умножить на (1 − p/100) - Последовательные изменения - коэффициенты перемножаются
1,2 · 0,8 = 0,96 - Обратная задача - деление на коэффициент
600 : 1,2 = 500 - Рост и такое же снижение не возвращают к исходному
Порядок действий
- Определите, растёт величина или уменьшается.
- Составьте коэффициент: единица плюс или минус доля процента.
- Для нескольких изменений перемножьте коэффициенты.
- Умножьте на коэффициент, если ищете конечное значение, и разделите, если ищете исходное.
- Проверьте прямым ходом.
Разбор примеров
- Коэффициент роста: 1 + 0,2 = 1,2.
- 500 · 1,2 = 600
- Коэффициенты: 1,2 и 0,8.
- Перемножаем: 1,2 · 0,8 = 0,96.
- Итог составляет 96 % от исходной.
- Коэффициент: 1,2.
- Делим: 600 : 1,2 = 500.
- Проверка: 500 · 1,2 = 600.
Где обычно ошибаются
- Считают, что рост на 20 % и снижение на 20 % возвращают к исходной величине.
- В обратной задаче вычитают процент от нового значения вместо деления на коэффициент.
- Складывают проценты последовательных изменений вместо перемножения коэффициентов.
Пример с решением
- Часть в числителе, целое в знаменателе: 4/5
- Часть в числителе, целое в знаменателе: 1/6
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.