Matisto

Произведение матриц: как решать

Найти элемент произведения матриц.

Определения

Произведение матриц
Матрица, элемент которой на пересечении строки i и столбца j равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй.

Объяснение

Умножение матриц устроено непривычно: элементы не перемножаются попарно на своих местах, как при сложении. Вместо этого строка первой матрицы «сворачивается» со столбцом второй.

Правило такое: чтобы получить элемент на пересечении строки i и столбца j, берут i-ю строку первой матрицы и j-й столбец второй, перемножают их соответственные элементы и складывают результаты.

Для матриц второго порядка элемент в левом верхнем углу равен произведению первой строки на первый столбец: a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁.

Отсюда требование к размерам: число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй, иначе перемножать нечего - длины строки и столбца не совпадут.

Умножение матриц некоммутативно: произведение AB и BA - в общем случае разные матрицы, а иногда второе вовсе не определено. Это резко отличает матрицы от чисел, и привычка переставлять множители здесь вредит.

Практический смысл умножения - последовательное применение двух преобразований. Если одна матрица описывает поворот, а другая растяжение, их произведение описывает поворот с последующим растяжением.

Проверять отдельные элементы полезно счётом заново: ошибки здесь почти всегда арифметические, в одном из слагаемых суммы.

Единичная матрица играет роль единицы: умножение на неё ничего не меняет. У неё на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Проверьте согласованность размеров матриц.
  2. Определите, какой элемент произведения ищете.
  3. Выпишите нужную строку первой матрицы.
  4. Выпишите нужный столбец второй матрицы.
  5. Перемножьте соответственные элементы и сложите.

Разбор примеров

Элемент c₁₁ для [[1,2],[3,4]] и [[5,6],[7,8]]
  1. Берём первую строку: 1 и 2.
  2. Берём первый столбец: 5 и 7.
  3. 1 · 5 + 2 · 7 = 5 + 14.
Ответ: 19
Элемент c₁₂ для тех же матриц
  1. Первая строка: 1 и 2.
  2. Второй столбец: 6 и 8.
  3. 1 · 6 + 2 · 8 = 22.
Ответ: 22
Элемент c₂₁ для тех же матриц
  1. Вторая строка: 3 и 4.
  2. Первый столбец: 5 и 7.
  3. 3 · 5 + 4 · 7 = 43.
Ответ: 43

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Матрица A имеет строки (6; 1) и (3; 4), матрица B — строки (3; 5) и (3; 3). Найдите элемент произведения A·B, стоящий в строке 2 и столбце 2.
  1. Берём строку 2 матрицы A: (3; 4)
  2. и столбец 2 матрицы B: (5; 3)
  3. 3 · 5 + 4 · 3 = 27
Ответ: 27
2. Матрица A имеет строки (5; 3) и (5; 6), матрица B — строки (3; 4) и (3; 5). Найдите элемент произведения A·B, стоящий в строке 2 и столбце 1.
  1. Берём строку 2 матрицы A: (5; 6)
  2. и столбец 1 матрицы B: (3; 3)
  3. 5 · 3 + 6 · 3 = 33
Ответ: 33
3. Матрица A имеет строки (6; 2) и (4; 6), матрица B — строки (6; 1) и (4; 1). Найдите элемент произведения A·B, стоящий в строке 1 и столбце 1.
  1. Берём строку 1 матрицы A: (6; 2)
  2. и столбец 1 матрицы B: (6; 4)
  3. 6 · 6 + 2 · 4 = 44
Ответ: 44
4. Матрица A имеет строки (4; 4) и (6; 5), матрица B — строки (4; 5) и (1; 1). Найдите элемент произведения A·B, стоящий в строке 1 и столбце 1.
  1. Берём строку 1 матрицы A: (4; 4)
  2. и столбец 1 матрицы B: (4; 1)
  3. 4 · 4 + 4 · 1 = 20
Ответ: 20
5. Матрица A имеет строки (5; 2) и (6; 3), матрица B — строки (1; 3) и (2; 1). Найдите элемент произведения A·B, стоящий в строке 1 и столбце 2.
  1. Берём строку 1 матрицы A: (5; 2)
  2. и столбец 2 матрицы B: (3; 1)
  3. 5 · 3 + 2 · 1 = 17
Ответ: 17

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Линейная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Линейная алгебра.