Линейная алгебра

Определитель второго порядка

Определения

Матрица второго порядка

Таблица чисел из двух строк и двух столбцов. Элементы обозначают по их месту: первый индекс - номер строки, второй - номер столбца.

Определитель

Число, вычисляемое по элементам квадратной матрицы. Для второго порядка равен разности произведений диагоналей.

Объяснение

Определитель второго порядка вычисляют по короткому правилу: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной.

Главная диагональ идёт из левого верхнего угла в правый нижний, побочная - из правого верхнего в левый нижний. Для матрицы с элементами a, b в первой строке и c, d во второй определитель равен ad − bc.

Порядок вычитания фиксирован: из главной диагонали вычитают побочную, а не наоборот. Перестановка меняет знак ответа, а знак определителя несёт смысл.

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на строках матрицы как на векторах. Отсюда и главное применение - вычисление площадей по координатам.

Нулевой определитель означает, что строки пропорциональны, то есть векторы коллинеарны, а параллелограмм вырождается в отрезок нулевой площади. Для системы уравнений это означает, что единственного решения нет.

Определитель постоянно встречается в методе Крамера и при проверке линейной независимости. Поэтому вычислять его надо быстро и без ошибок в знаках.

Проверять полезно перестановкой: поменяв строки местами, определитель обязан сменить знак. Это свойство годится и как проверка вычислений.

Определитель не меняется, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число. Это свойство лежит в основе всех приёмов упрощения определителей.

Правила и формулы

• Определитель второго порядкаad − bc
• Из главной диагонали вычитают побочную
• Геометрический смысл - площадь параллелограмма
• Нулевой определитель означает пропорциональные строки
• Перестановка строк меняет знак

Порядок действий

1. Выпишите элементы матрицы по местам.
2. Перемножьте элементы главной диагонали.
3. Перемножьте элементы побочной диагонали.
4. Вычтите второе произведение из первого.
5. Проверьте знаки, особенно у отрицательных элементов.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают произведения диагоналей вместо вычитания.
• Вычитают главную диагональ из побочной.
• Теряют знак при отрицательных элементах побочной диагонали.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Определитель третьего порядка

Определения

Правило треугольников

Способ вычисления определителя третьего порядка: три произведения со знаком плюс и три со знаком минус, расположенные по определённой схеме.

Разложение по строке

Способ вычисления через определители второго порядка с чередующимися знаками.

Объяснение

Для определителя третьего порядка есть два основных способа: правило треугольников и разложение по строке. Оба дают одинаковый результат, выбирают по удобству.

Правило треугольников: со знаком плюс берут произведение главной диагонали и два произведения по треугольникам, параллельным ей; со знаком минус - произведение побочной диагонали и два треугольника, параллельных ей. Всего шесть слагаемых.

Разложение по строке обычно надёжнее: берут элементы одной строки, каждый умножают на определитель второго порядка, полученный вычёркиванием его строки и столбца, и складывают с чередующимися знаками плюс, минус, плюс.

Знаки чередуются в шахматном порядке, и начинается чередование с плюса в левом верхнем углу. Забыть про минус у второго слагаемого - самая частая ошибка при разложении.

Выбирать для разложения выгодно строку или столбец с наибольшим количеством нулей: каждый ноль убирает целое слагаемое, и работы становится меньше.

Геометрический смысл сохраняется: модуль определителя третьего порядка равен объёму параллелепипеда, построенного на строках как на векторах. Нулевой определитель означает, что векторы лежат в одной плоскости.

Проверять результат можно вторым способом: посчитайте определитель разложением, а потом правилом треугольников. Совпадение почти гарантирует правильность.

Правила и формулы

• Правило треугольников даёт шесть слагаемых: три с плюсом, три с минусом
• Разложение по строкеa₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃
• Знаки чередуются, начиная с плюса
• Выгодно разлагать по строке с нулями
• Модуль определителя равен объёму параллелепипеда

Порядок действий

1. Выберите способ: разложение надёжнее, треугольники быстрее.
2. Для разложения выберите строку с наибольшим числом нулей.
3. Вычеркните строку и столбец каждого элемента и посчитайте минор.
4. Умножьте элементы на миноры, чередуя знаки.
5. Сложите и проверьте вторым способом.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• При разложении не чередуют знаки.
• В правиле треугольников берут неверные тройки элементов.
• Разлагают по строке без нулей и делают лишнюю работу.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Произведение матриц

Определения

Произведение матриц

Матрица, элемент которой на пересечении строки i и столбца j равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй.

Объяснение

Умножение матриц устроено непривычно: элементы не перемножаются попарно на своих местах, как при сложении. Вместо этого строка первой матрицы «сворачивается» со столбцом второй.

Правило такое: чтобы получить элемент на пересечении строки i и столбца j, берут i-ю строку первой матрицы и j-й столбец второй, перемножают их соответственные элементы и складывают результаты.

Для матриц второго порядка элемент в левом верхнем углу равен произведению первой строки на первый столбец: a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁.

Отсюда требование к размерам: число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй, иначе перемножать нечего - длины строки и столбца не совпадут.

Умножение матриц некоммутативно: произведение AB и BA - в общем случае разные матрицы, а иногда второе вовсе не определено. Это резко отличает матрицы от чисел, и привычка переставлять множители здесь вредит.

Практический смысл умножения - последовательное применение двух преобразований. Если одна матрица описывает поворот, а другая растяжение, их произведение описывает поворот с последующим растяжением.

Проверять отдельные элементы полезно счётом заново: ошибки здесь почти всегда арифметические, в одном из слагаемых суммы.

Единичная матрица играет роль единицы: умножение на неё ничего не меняет. У неё на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули.

Правила и формулы

• Элемент произведенияcᵢⱼ = Σ aᵢₖ · bₖⱼ
• Строка первой матрицы на столбец второй
• Условие согласованностистолбцов первой = строк второй
• Умножение некоммутативноAB ≠ BA
• Смысл - последовательное применение преобразований

Порядок действий

1. Проверьте согласованность размеров матриц.
2. Определите, какой элемент произведения ищете.
3. Выпишите нужную строку первой матрицы.
4. Выпишите нужный столбец второй матрицы.
5. Перемножьте соответственные элементы и сложите.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Перемножают элементы, стоящие на одинаковых местах.
• Берут столбец первой матрицы вместо строки.
• Считают, что порядок множителей не важен.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Метод Крамера

Определения

Метод Крамера

Способ решения системы линейных уравнений через определители: каждая неизвестная равна отношению вспомогательного определителя к главному.

Главный определитель

Определитель матрицы коэффициентов при неизвестных.

Объяснение

Метод Крамера даёт решение системы формулой, без последовательных исключений. Для систем из двух-трёх уравнений это быстро и удобно.

Сначала считают главный определитель - составленный из коэффициентов при неизвестных. Затем для каждой неизвестной строят вспомогательный определитель: в главном заменяют столбец коэффициентов при этой неизвестной на столбец свободных членов.

Каждая неизвестная равна отношению своего вспомогательного определителя к главному. Для системы из двух уравнений: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ.

Условие применимости: главный определитель не равен нулю. Если он нулевой, система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много, и метод Крамера ответа не даёт - нужны другие способы.

Разберём систему 2x + y = 5, x − y = 1. Главный определитель: 2 · (−1) − 1 · 1 = −3. Для x заменяем первый столбец: 5 · (−1) − 1 · 1 = −6, значит x = −6 : (−3) = 2. Для y заменяем второй столбец: 2 · 1 − 5 · 1 = −3, значит y = 1.

Заменять надо именно тот столбец, что отвечает искомой неизвестной: первый для x, второй для y. Перепутанный столбец - самая частая ошибка метода.

Проверять ответ надо подстановкой в оба уравнения системы, а не в одно.

Для системы трёх уравнений метод работает так же, только определители третьего порядка. Вспомогательных определителей становится три - по одному на каждую неизвестную.

Правила и формулы

• Формулы Крамераx = Δx/Δ, y = Δy/Δ
• Главный определитель - из коэффициентов при неизвестных
• Вспомогательный - с заменённым столбцом на свободные члены
• Условие применимостиΔ ≠ 0
• Для x заменяют первый столбец, для y - второй

Порядок действий

1. Запишите систему в стандартном виде и выпишите коэффициенты.
2. Посчитайте главный определитель и убедитесь, что он не равен нулю.
3. Постройте вспомогательный определитель для первой неизвестной.
4. Разделите его на главный.
5. Повторите для остальных неизвестных и проверьте подстановкой.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Заменяют не тот столбец на свободные члены.
• Применяют метод при нулевом главном определителе.
• Делят главный определитель на вспомогательный вместо обратного.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Скалярное произведение

Определения

Скалярное произведение

Число, равное сумме произведений одноимённых координат векторов. Второе определение - произведение длин на косинус угла между ними.

Объяснение

У скалярного произведения два равносильных определения, и оба нужны. Через координаты оно вычисляется, через длины и угол - интерпретируется.

Координатное определение: перемножаем одноимённые координаты и складываем. Для векторов (1; 2) и (3; 4) получаем 1 · 3 + 2 · 4 = 11.

Геометрическое определение: скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Отсюда следует, что оно положительно при остром угле, отрицательно при тупом и равно нулю при прямом.

Равенство нулю - главный признак перпендикулярности, и это самое частое применение скалярного произведения. Проверить прямой угол по координатам можно одним действием.

Из двух определений вместе получается формула для косинуса угла: он равен скалярному произведению, делённому на произведение длин. Так находят углы между векторами по координатам.

Результат скалярного произведения - число, а не вектор. Это отличает его от векторного произведения, у которого результат вектор. Путать их нельзя ни по названию, ни по смыслу.

В пространстве всё то же самое, только координат три: складываются три произведения вместо двух.

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Отсюда ещё один способ находить длину, не выписывая корень отдельно.

Правила и формулы

• Через координатыa · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃)
• Через длины и уголa · b = |a| · |b| · cos φ
• Перпендикулярностьa · b = 0
• Косинус углаcos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
• Результат - число, а не вектор

Порядок действий

1. Выпишите координаты обоих векторов.
2. Перемножьте первые координаты, потом вторые, потом третьи.
3. Сложите полученные произведения.
4. Для угла разделите результат на произведение длин.
5. Нулевой результат означает перпендикулярность.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают координаты вместо перемножения.
• Считают результат вектором.
• При вычислении угла забывают разделить на произведение длин.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней