Matisto

Определитель второго порядка: как решать

Вычислить определитель второго порядка.

Определения

Матрица второго порядка
Таблица чисел из двух строк и двух столбцов. Элементы обозначают по их месту: первый индекс - номер строки, второй - номер столбца.
Определитель
Число, вычисляемое по элементам квадратной матрицы. Для второго порядка равен разности произведений диагоналей.

Объяснение

Определитель второго порядка вычисляют по короткому правилу: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной.

Главная диагональ идёт из левого верхнего угла в правый нижний, побочная - из правого верхнего в левый нижний. Для матрицы с элементами a, b в первой строке и c, d во второй определитель равен ad − bc.

Порядок вычитания фиксирован: из главной диагонали вычитают побочную, а не наоборот. Перестановка меняет знак ответа, а знак определителя несёт смысл.

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на строках матрицы как на векторах. Отсюда и главное применение - вычисление площадей по координатам.

Нулевой определитель означает, что строки пропорциональны, то есть векторы коллинеарны, а параллелограмм вырождается в отрезок нулевой площади. Для системы уравнений это означает, что единственного решения нет.

Определитель постоянно встречается в методе Крамера и при проверке линейной независимости. Поэтому вычислять его надо быстро и без ошибок в знаках.

Проверять полезно перестановкой: поменяв строки местами, определитель обязан сменить знак. Это свойство годится и как проверка вычислений.

Определитель не меняется, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число. Это свойство лежит в основе всех приёмов упрощения определителей.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Выпишите элементы матрицы по местам.
  2. Перемножьте элементы главной диагонали.
  3. Перемножьте элементы побочной диагонали.
  4. Вычтите второе произведение из первого.
  5. Проверьте знаки, особенно у отрицательных элементов.

Разбор примеров

Определитель матрицы [[3, 5], [2, 4]]
  1. Главная диагональ: 3 · 4 = 12.
  2. Побочная: 5 · 2 = 10.
  3. 12 − 10 = 2.
Ответ: 2
Определитель [[1, 2], [3, 6]]
  1. Главная: 1 · 6 = 6.
  2. Побочная: 2 · 3 = 6.
  3. 6 − 6 = 0.
  4. Строки пропорциональны.
Ответ: 0
Определитель [[2, −1], [3, 4]]
  1. Главная: 2 · 4 = 8.
  2. Побочная: (−1) · 3 = −3.
  3. 8 − (−3) = 11.
Ответ: 11

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Вычислите определитель второго порядка со строками (5; −3) и (5; 1).
  1. Δ = a·d − b·c
  2. a·d = 5 · 1 = 5
  3. b·c = (−3) · 5 = −15
  4. Δ = 5 − −15 = 20
Ответ: 20
2. Вычислите определитель второго порядка со строками (1; 1) и (7; −4).
  1. Δ = a·d − b·c
  2. a·d = 1 · (−4) = −4
  3. b·c = 1 · 7 = 7
  4. Δ = −4 − 7 = −11
Ответ: -11
3. Вычислите определитель второго порядка со строками (8; 1) и (−3; 9).
  1. Δ = a·d − b·c
  2. a·d = 8 · 9 = 72
  3. b·c = 1 · (−3) = −3
  4. Δ = 72 − −3 = 75
Ответ: 75
4. Вычислите определитель второго порядка со строками (4; 1) и (1; 9).
  1. Δ = a·d − b·c
  2. a·d = 4 · 9 = 36
  3. b·c = 1 · 1 = 1
  4. Δ = 36 − 1 = 35
Ответ: 35
5. Вычислите определитель второго порядка со строками (6; −1) и (7; 6).
  1. Δ = a·d − b·c
  2. a·d = 6 · 6 = 36
  3. b·c = (−1) · 7 = −7
  4. Δ = 36 − −7 = 43
Ответ: 43

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Линейная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Линейная алгебра.