Метод Крамера: как решать
Решить систему методом Крамера.
Определения
- Метод Крамера
- Способ решения системы линейных уравнений через определители: каждая неизвестная равна отношению вспомогательного определителя к главному.
- Главный определитель
- Определитель матрицы коэффициентов при неизвестных.
Объяснение
Метод Крамера даёт решение системы формулой, без последовательных исключений. Для систем из двух-трёх уравнений это быстро и удобно.
Сначала считают главный определитель - составленный из коэффициентов при неизвестных. Затем для каждой неизвестной строят вспомогательный определитель: в главном заменяют столбец коэффициентов при этой неизвестной на столбец свободных членов.
Каждая неизвестная равна отношению своего вспомогательного определителя к главному. Для системы из двух уравнений: x = Δx/Δ, y = Δy/Δ.
Условие применимости: главный определитель не равен нулю. Если он нулевой, система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много, и метод Крамера ответа не даёт - нужны другие способы.
Разберём систему 2x + y = 5, x − y = 1. Главный определитель: 2 · (−1) − 1 · 1 = −3. Для x заменяем первый столбец: 5 · (−1) − 1 · 1 = −6, значит x = −6 : (−3) = 2. Для y заменяем второй столбец: 2 · 1 − 5 · 1 = −3, значит y = 1.
Заменять надо именно тот столбец, что отвечает искомой неизвестной: первый для x, второй для y. Перепутанный столбец - самая частая ошибка метода.
Проверять ответ надо подстановкой в оба уравнения системы, а не в одно.
Для системы трёх уравнений метод работает так же, только определители третьего порядка. Вспомогательных определителей становится три - по одному на каждую неизвестную.
Правила и формулы
- Формулы Крамера
x = Δx/Δ, y = Δy/Δ - Главный определитель - из коэффициентов при неизвестных
- Вспомогательный - с заменённым столбцом на свободные члены
- Условие применимости
Δ ≠ 0 - Для x заменяют первый столбец, для y - второй
Порядок действий
- Запишите систему в стандартном виде и выпишите коэффициенты.
- Посчитайте главный определитель и убедитесь, что он не равен нулю.
- Постройте вспомогательный определитель для первой неизвестной.
- Разделите его на главный.
- Повторите для остальных неизвестных и проверьте подстановкой.
Разбор примеров
- Главный определитель: 2 · (−1) − 1 · 1 = −3.
- Для x: 5 · (−1) − 1 · 1 = −6, значит x = 2.
- Для y: 2 · 1 − 5 · 1 = −3, значит y = 1.
- Проверка: 2 · 2 + 1 = 5 и 2 − 1 = 1.
- Главный: 1 · (−1) − 1 · 1 = −2.
- Для x: 3 · (−1) − 1 · 1 = −4, x = 2.
- Для y: 1 · 1 − 3 · 1 = −2, y = 1.
- Главный определитель: 2 · 1 − 2 · 1 = 0.
- Метод неприменим.
Где обычно ошибаются
- Заменяют не тот столбец на свободные члены.
- Применяют метод при нулевом главном определителе.
- Делят главный определитель на вспомогательный вместо обратного.
Примеры с решением
- Главный определитель: Δ = 4 · 1 − 3 · 1 = 1
- Δx = 39 · 1 − 3 · 11 = 6
- Δy = 4 · 11 − 39 · 1 = 5, y = 5 : 1 = 5
- Главный определитель: Δ = 5 · 1 − 4 · 5 = −15
- Δx = 37 · 1 − 4 · 13 = −15
- Δy = 5 · 13 − 37 · 5 = −120, y = −120 : −15 = 8
- Главный определитель: Δ = 6 · 3 − 1 · 1 = 17
- Δx = 20 · 3 − 1 · 26 = 34
- Δy = 6 · 26 − 20 · 1 = 136, y = 136 : 17 = 8
- Главный определитель: Δ = 6 · 4 − 6 · 1 = 18
- Δx = 72 · 4 − 6 · 36 = 72
- Δy = 6 · 36 − 72 · 1 = 144, y = 144 : 18 = 8
- Главный определитель: Δ = 6 · 6 − 4 · 1 = 32
- Δx = 54 · 6 − 4 · 25 = 224
- x = 224 : 32 = 7
Подсказки, если не получается
- Систему можно решить определителями — по правилу Крамера.
- Главный определитель составлен из коэффициентов при неизвестных.
- В определителе для неизвестного его столбец заменяется столбцом свободных членов.
Другие темы раздела «Линейная алгебра»
Полная справка по разделу — на странице Линейная алгебра.