Определитель третьего порядка: как решать

Вычислить определитель третьего порядка.

Определения

Правило треугольников: Способ вычисления определителя третьего порядка: три произведения со знаком плюс и три со знаком минус, расположенные по определённой схеме.
Разложение по строке: Способ вычисления через определители второго порядка с чередующимися знаками.

Объяснение

Для определителя третьего порядка есть два основных способа: правило треугольников и разложение по строке. Оба дают одинаковый результат, выбирают по удобству.

Правило треугольников: со знаком плюс берут произведение главной диагонали и два произведения по треугольникам, параллельным ей; со знаком минус - произведение побочной диагонали и два треугольника, параллельных ей. Всего шесть слагаемых.

Разложение по строке обычно надёжнее: берут элементы одной строки, каждый умножают на определитель второго порядка, полученный вычёркиванием его строки и столбца, и складывают с чередующимися знаками плюс, минус, плюс.

Знаки чередуются в шахматном порядке, и начинается чередование с плюса в левом верхнем углу. Забыть про минус у второго слагаемого - самая частая ошибка при разложении.

Выбирать для разложения выгодно строку или столбец с наибольшим количеством нулей: каждый ноль убирает целое слагаемое, и работы становится меньше.

Геометрический смысл сохраняется: модуль определителя третьего порядка равен объёму параллелепипеда, построенного на строках как на векторах. Нулевой определитель означает, что векторы лежат в одной плоскости.

Проверять результат можно вторым способом: посчитайте определитель разложением, а потом правилом треугольников. Совпадение почти гарантирует правильность.

Правила и формулы

Правило треугольников даёт шесть слагаемых: три с плюсом, три с минусом
Разложение по строкеa₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃
Знаки чередуются, начиная с плюса
Выгодно разлагать по строке с нулями
Модуль определителя равен объёму параллелепипеда

Порядок действий

Выберите способ: разложение надёжнее, треугольники быстрее.
Для разложения выберите строку с наибольшим числом нулей.
Вычеркните строку и столбец каждого элемента и посчитайте минор.
Умножьте элементы на миноры, чередуя знаки.
Сложите и проверьте вторым способом.

Разбор примеров

Определитель [[1,2,3],[0,1,4],[0,0,2]]

Разложим по первому столбцу - там два нуля.
Остаётся 1 умножить на определитель [[1,4],[0,2]].
1 · 2 − 4 · 0 = 2.
Итого 1 · 2 = 2.

Ответ: 2

Определитель [[2,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]

Матрица диагональная.
Определитель равен произведению диагональных элементов.
2 · 3 · 4 = 24.

Ответ: 24

Определитель [[1,1,1],[2,2,2],[3,1,4]]

Вторая строка пропорциональна первой.
Определитель обращается в ноль.

Ответ: 0

Где обычно ошибаются

При разложении не чередуют знаки.
В правиле треугольников берут неверные тройки элементов.
Разлагают по строке без нулей и делают лишнюю работу.

Примеры с решением

1. Вычислите определитель третьего порядка со строками (0; 3; 5), (−2; 4; 1) и (0; −3; 0).

Со знаком «плюс»: главная диагональ и два треугольника — сумма 30
Со знаком «минус»: побочная диагональ и два треугольника — сумма 0
Δ = 30 − 0 = 30

Ответ: 30

2. Вычислите определитель третьего порядка со строками (2; −2; −2), (0; 0; 0) и (−3; −2; 1).

Со знаком «плюс»: главная диагональ и два треугольника — сумма 0
Со знаком «минус»: побочная диагональ и два треугольника — сумма 0
Δ = 0 − 0 = 0

Ответ: 0

3. Вычислите определитель третьего порядка со строками (4; −2; −1), (−3; 5; −2) и (−2; −2; 4).

Со знаком «плюс»: главная диагональ и два треугольника — сумма 66
Со знаком «минус»: побочная диагональ и два треугольника — сумма 50
Δ = 66 − 50 = 16

Ответ: 16

4. Вычислите определитель третьего порядка со строками (0; 2; −2), (2; −1; 2) и (5; −2; −1).

Со знаком «плюс»: главная диагональ и два треугольника — сумма 28
Со знаком «минус»: побочная диагональ и два треугольника — сумма 6
Δ = 28 − 6 = 22

Ответ: 22

5. Вычислите определитель третьего порядка со строками (4; −3; −1), (2; 4; 0) и (−1; −2; 1).

Со знаком «плюс»: главная диагональ и два треугольника — сумма 20
Со знаком «минус»: побочная диагональ и два треугольника — сумма −2
Δ = 20 − −2 = 22

Ответ: 22

Подсказки, если не получается

Работает правило треугольника (правило Саррюса).
Три произведения берутся со знаком плюс, три — со знаком минус.
Аккуратно следите за знаками элементов.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Линейная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Линейная алгебра.