Скалярное произведение: как решать

Найти скалярное произведение векторов.

Определения

Скалярное произведение: Число, равное сумме произведений одноимённых координат векторов. Второе определение - произведение длин на косинус угла между ними.

Объяснение

У скалярного произведения два равносильных определения, и оба нужны. Через координаты оно вычисляется, через длины и угол - интерпретируется.

Координатное определение: перемножаем одноимённые координаты и складываем. Для векторов (1; 2) и (3; 4) получаем 1 · 3 + 2 · 4 = 11.

Геометрическое определение: скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Отсюда следует, что оно положительно при остром угле, отрицательно при тупом и равно нулю при прямом.

Равенство нулю - главный признак перпендикулярности, и это самое частое применение скалярного произведения. Проверить прямой угол по координатам можно одним действием.

Из двух определений вместе получается формула для косинуса угла: он равен скалярному произведению, делённому на произведение длин. Так находят углы между векторами по координатам.

Результат скалярного произведения - число, а не вектор. Это отличает его от векторного произведения, у которого результат вектор. Путать их нельзя ни по названию, ни по смыслу.

В пространстве всё то же самое, только координат три: складываются три произведения вместо двух.

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Отсюда ещё один способ находить длину, не выписывая корень отдельно.

Правила и формулы

Через координатыa · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃)
Через длины и уголa · b = |a| · |b| · cos φ
Перпендикулярностьa · b = 0
Косинус углаcos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
Результат - число, а не вектор

Порядок действий

Выпишите координаты обоих векторов.
Перемножьте первые координаты, потом вторые, потом третьи.
Сложите полученные произведения.
Для угла разделите результат на произведение длин.
Нулевой результат означает перпендикулярность.

Разбор примеров

Скалярное произведение (1; 2) и (3; 4)

Первые координаты: 1 · 3 = 3.
Вторые: 2 · 4 = 8.
Сумма: 11.

Ответ: 11

Скалярное произведение (2; −1) и (1; 2)

2 · 1 = 2.
(−1) · 2 = −2.
Сумма: 0 - векторы перпендикулярны.

Ответ: 0

Скалярное произведение (1; 2; 3) и (0; 1; −1)

1 · 0 = 0.
2 · 1 = 2.
3 · (−1) = −3.
Сумма: −1.

Ответ: −1

Где обычно ошибаются

Складывают координаты вместо перемножения.
Считают результат вектором.
При вычислении угла забывают разделить на произведение длин.

Примеры с решением

1. Даны векторы a (1; 7; 5; 2) и b (3; 2; 6; 6). Найдите их скалярное произведение.

a · b = 1 · 3 + 7 · 2 + 5 · 6 + 2 · 6
= 3 + 14 + 30 + 12
= 59

Ответ: 59

2. Даны векторы a (3; 3; 1; 7) и b (3; 7; 7; 2). Найдите их скалярное произведение.

a · b = 3 · 3 + 3 · 7 + 1 · 7 + 7 · 2
= 9 + 21 + 7 + 14
= 51

Ответ: 51

3. Даны векторы a (2; 2; 6; 3) и b (2; 1; 1; 6). Найдите их скалярное произведение.

a · b = 2 · 2 + 2 · 1 + 6 · 1 + 3 · 6
= 4 + 2 + 6 + 18
= 30

Ответ: 30

4. Даны векторы a (5; 5; 1) и b (1; 2; 2). Найдите их скалярное произведение.

a · b = 5 · 1 + 5 · 2 + 1 · 2
= 5 + 10 + 2
= 17

Ответ: 17

5. Даны векторы a (1; 4; 5; 2) и b (4; 7; 3; 3). Найдите их скалярное произведение.

a · b = 1 · 4 + 4 · 7 + 5 · 3 + 2 · 3
= 4 + 28 + 15 + 6
= 53

Ответ: 53

Подсказки, если не получается

Координаты перемножаются попарно, а результаты складываются.
Число координат у обоих векторов одинаковое.
Сложите все произведения.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Линейная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Линейная алгебра.