Неопределённость 0/0: как решать

Раскрыть неопределённость 0/0.

Определения

Неопределённость 0/0: Ситуация, когда при подстановке и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Значение предела при этом может быть любым и требует дополнительного исследования.
Сокращение на общий множитель: Основной приём раскрытия: числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают тот, что обращается в ноль.

Объяснение

Неопределённость 0/0 означает, что подстановка ничего не сказала: и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, а их отношение может стремиться к чему угодно. Само выражение 0/0 значения не имеет, поэтому и говорят о неопределённости.

Ключевое наблюдение: если и числитель, и знаменатель обращаются в ноль в точке a, то оба делятся на (x − a). Это следует из теоремы о корне многочлена. Значит, общий множитель есть всегда, и его можно сократить.

Основной приём для дробей с многочленами - разложить обе части на множители и сократить на (x − a). После сокращения неопределённость исчезает, и предел берётся подстановкой.

Разберём предел (x² − 9)/(x − 3) при x → 3. Подстановка даёт 0/0. Раскладываем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Сокращаем на (x − 3), остаётся x + 3. Подставляем: 3 + 3 = 6.

Сокращение законно, потому что предел описывает поведение вблизи точки, а не в самой точке. При x, не равном трём, выражения совпадают, а что происходит ровно в тройке, для предела неважно.

Если в выражении есть корни, применяют домножение на сопряжённое. Дробь с разностью корней домножают сверху и снизу на их сумму - тогда в числителе получается разность квадратов, корни исчезают, и появляется сокращаемый множитель.

Проверять полезно подстановкой близкого значения: возьмите x = 3,01 и посмотрите, близок ли результат к найденному ответу.

Правила и формулы

Неопределённость 0/0 требует преобразований
Общий множитель есть всегдаоба многочлена делятся на (x − a)
Разложение и сокращение(x² − 9)/(x − 3) = x + 3
Для корней - домножение на сопряжённое
После сокращения берут предел подстановкой

Порядок действий

Подставьте значение и убедитесь, что получается 0/0.
Разложите числитель и знаменатель на множители.
Найдите общий множитель вида (x − a).
Сократите на него.
Подставьте значение в упрощённое выражение.

Разбор примеров

Предел (x² − 9)/(x − 3) при x → 3

Подстановка даёт 0/0.
Раскладываем: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Сокращаем на (x − 3): остаётся x + 3.
Подставляем: 6.

Ответ: 6

Предел (x² − 4)/(x − 2) при x → 2

Неопределённость 0/0.
x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
После сокращения: x + 2.
Подставляем: 4.

Ответ: 4

Предел (x² − 5x + 6)/(x − 2) при x → 2

Числитель раскладывается: (x − 2)(x − 3).
Сокращаем: x − 3.
Подставляем: 2 − 3 = −1.

Ответ: −1

Где обычно ошибаются

Считают, что 0/0 равно нулю или единице.
Сокращают слагаемые вместо множителей.
Забывают подставить значение после сокращения и оставляют выражение в ответе.

Примеры с решением

1. Вычислите предел дроби (x² − 7x + 12) / (x − 4) при x, стремящемся к 4.

x² − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3)
После сокращения на (x − 4) остаётся x − 3
Предел = 4 − 3 = 1

Ответ: 1

2. Вычислите предел дроби (x² − 10x + 21) / (x − 7) при x, стремящемся к 7.

x² − 10x + 21 = (x − 7)(x − 3)
После сокращения на (x − 7) остаётся x − 3
Предел = 7 − 3 = 4

Ответ: 4

3. Вычислите предел дроби (x² − 6x + 5) / (x − 5) при x, стремящемся к 5.

x² − 6x + 5 = (x − 5)(x − 1)
После сокращения на (x − 5) остаётся x − 1
Предел = 5 − 1 = 4

Ответ: 4

4. Вычислите предел дроби (x² − 15x + 56) / (x − 7) при x, стремящемся к 7.

x² − 15x + 56 = (x − 7)(x − 8)
После сокращения на (x − 7) остаётся x − 8
Предел = 7 − 8 = −1

Ответ: -1

5. Вычислите предел дроби (x² − 4x + 3) / (x − 3) при x, стремящемся к 3.

x² − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1)
После сокращения на (x − 3) остаётся x − 1
Предел = 3 − 1 = 2

Ответ: 2

Подсказки, если не получается

Подставьте число: получится неопределённость 0/0.
Разложите числитель по теореме Виета: корни 4 и 3.
Сократите общий множитель и подставьте снова.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Пределы»

Полная справка по разделу — на странице Пределы.